§ 5. ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ (ФОРМУЛА КОШИ)
В этом параграфе мы докажем теорему, принадлежащую Коши и обобщающую установленную выше теорему Лагранжа.
Теорема 6.8 (теорема Коши). Если каждая из двух функций 
непрерывна на сегменте 
и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента и если, кроме того, производная 
отлична от нуля всюду внутри сегмента 
то внутри этого сегмента найдется точка 
такая, что справедлива формула
Формулу (6.13) называют обобщенной формулой конечных приращений или формулой Коши.
Доказательство. Прежде всего докажем, что 
. В самом деле, если бы это было не так, то для функции 
были бы выполнены на сегменте 
все условия теоремы 6.3 (Ролля) и по этой теореме внутри сегмента 
нашлась бы точка 
такая, что 
Последнее противоречит условию теоремы. Итак, 
и мы имеем право рассмотреть следующую вспомогательную функцию:
В силу требований, наложенных на функции 
функций 
непрерывна на сегменте 
и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента. Кроме того, очевидно, что 
Таким образом, для 
выполнены все условия теоремы 6.3 (Ролля). Согласно этой теореме внутри сегмента 
найдется точка 
такая, что
Имея в виду, что 
и используя равенство (6.15), будем иметь
Учитывая, что 
из равенства (6.16) получим формулу Коши (6.13). Теорема доказана.
Замечание 1. Формула Лагранжа (6.1) является частным случаем формулы Коши (6.13) при 
Замечание 2. В формуле (6.13) вовсе не обязательно считать, что 
Эта формула верна и при 
