2. Случай конечномерных пространств.

Рассмотрим важный частный случай, когда нормированное пространство совпадает с пространством а пространства В и совпадают с . В качестве следствия теоремы получим теорему о неявной функции для этого частного случая.

Выберем в пространствах базисы и запишем отображение в координатной форме:

где — точка пространства — точка пространства причем точка принадлежит также

Подчеркнем, что отображение определено на прямом произведении пространств или в данном частном случае на прямом произведении Если фиксировать переменную у, положив ее равной то мы получим функцию, определенную на некотором множестве — сечении Отображение представляет собой частичное отображение по переменной х (по отношению к исходному отображению

Если в некоторой точке это частичное отображение дифференцируемо, то его производная в этой точке называется частной производной исходного отображения в точке (или частным производным отображением) по переменной х. Обозначается эта частная производная символом или (иногда

Ясно, что наши рассмотрения пригодны и в общем случае нормированных пространств , а не только в случае конечномерных пространств

Замечание. Нетрудно, так же как и в случае функций многих переменных, доказать, что если отображение дифференцируемо в точке то в этой точке у него есть все частные производные отображения и справедливо соотношение Здесь — дифференциал Фреше от функции в точке — частные производные отображения в точке — элемент касательного пространства

Вернемся снова к изучению отображения Согласно рассмотрениям дополнения 3 к гл. 12 частные производные отображения или, что то же самое, задаются матрицами

Непрерывность отображений (операторов в конечномерных пространствах, задаваемых матрицами), как известно из курса линейной алгебры, равносильна непрерывности всех элементов соответствующей матрицы. Обратимость линейного отображения равносильна невырожденности матрицы, задающей это преобразование.

Теперь мы подготовлены к тому, чтобы сформулировать теорему в случае отображения

Теорема. Пусть — два конечномерных пространства размерностей тип соответственно, Е — окрестность точки лежащей в произведении пространств — отображение в пространство обладающее свойствами:

непрерывно в точке (т. е. в точке непрерывны все координаты

в) частная производная

существует в каждой точке окрестности и непрерывна в точке (т. е. в точке непрерывны все элементы указанной матрицы), отображение

не вырождено (т. е. определитель указанной матрицы Якоби отличен от нуля)

г) частная производная

существует в каждой точке окрестности и непрерывна в точке (т. е. в точке непрерывны все элементы указанной матрицы).

При этих условиях в некоторой окрестности точки определено отображение (т. е. определены функции такое, что:

непрерывно в точке (т. е. координаты отображения непрерывны в точке

если — другое отображение, определенное в некоторой окрестности точки обладающее свойствами то в некоторой окрестности точки отображение дифференцируемо в точке и

Замечание. В случае, если одномерно, т. е. совпадает с мы получим всего одно скалярное уравнение где — точка из числовой аргумент. В этом случае отображение состоит только из одного элемента и поэтому скольку в этом случае то согласно утверждению теоремы получаем, что

или, приравнивая координаты, получаем

Если и пространство одномерно, т. е. то точка х — число и в этом случае . Эти формулы были нами установлены в § 1 и 2.