§ 5. СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ

1. Свойства вещественных чисел.

В этом пункте мы убедимся в справедливости для произвольных вещественных чисел всех основных свойств, перечисленных в п. 1 § 1 для рациональных чисел. Справедливость для вещественных чисел свойств уже установлена выше. Таким образом, нужно выяснить лишь вопрос о справедливости для вещественных чисел свойств Легко убедиться в справедливости для вещественных чисел свойств , связанных с понятием суммы. Справедливость свойств непосредственно вытекает из определения

суммы вещественных чисел и из справедливости указанных свойств для рациональных чисел.

Остановимся на доказательстве свойств 14°, т. е. докажем, что если и с — любые три вещественных числа и то

Так как то в силу леммы 2 из § 3 найдутся рациональные числа си и такие, что Для вещественного числа с и для положительного рационального числа найдутся рациональные числа и такие, что причем (см. лемму 1 § 3). Пусть, далее, — любые рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам Тогда по определению суммы вещественных чисел

Для доказательства того, что , в силу транзитивности знака достаточно доказать, что но это непосредственно вытекает из неравенства

Заметим, что вопрос о вычитании вещественных чисел как о действии, обратном сложению, полностью исчерпывается на основании свойств Назовем разностью вещественных чисел а и b вещественное число с такое, что с

Убедимся в том, что таковой разностью является число где b — число, противоположное

В самом деле, используя свойства можем записать

Убедимся в том, что существует только одно вещественное число, являющееся разностью двух данных вещественных чисел.

Предположим, что кроме указанного выше числа существует еще одно число такое, что Тогда, с одной стороны, с, с другой стороны,

Из определения разности и из свойства 8° вытекает, что число а, противоположное а, равно разности Это число обычно записывают в виде . Не вызывает затруднения перенесение на случай вещественных чисел свойств 9°, 10°, 11°, 12°, 13° и 15°, связанных с понятием произведения. Отметим лишь в отношении свойства 12°, что если а — положительное вещественное число, а и — какие угодно рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам то число а, обратное для а, определяется как единственное вещественное число, удовлетворяющее неравенствам

Свойства позволяют заключить, что для любых двух вещественных чисел а и существует и притом только одно вещественное число с, удовлетворяющее условию Это число с называется частным чисел а и Из определения частного и из свойства 12° вытекает, что число а, обратное числу а, равно частному На.

Заметим, наконец, что на случай вещественных чисел переносится и последнее, 16-е, свойство рациональных чисел, а именно:

Каково бы ни было вещественное число а можно число 1 повторить слагаемым столько раз, что полученная сумма превзойдет а

Докажем это свойство. В случае доказательства не требуется, ибо . Пусть . В силу того, что определение суммы вещественных чисел в применении к сумме рациональных чисел совпадает с определением суммы рациональных чисел, повторив число 1 слагаемым раз, получим целое число Таким образом, достаточно доказать, что для числа а найдется целое число такое, что Но это очевидно: достаточно взять

Таким образом, на случай вещественных чисел переносятся все основные свойства, сформулированные для рациональных чисел в настоящего параграфа. Следовательно, для вещественных чисел сохраняют силу все правила алгебры, относящиеся к арифметическим действиям и к сочетанию равенств и неравенств.