суммы вещественных чисел и из справедливости указанных свойств для рациональных чисел.
Остановимся на доказательстве свойств 14°, т. е. докажем, что если 
и с — любые три вещественных числа и 
то 
Так как 
то в силу леммы 2 из § 3 найдутся рациональные числа си и 
такие, что 
Для вещественного числа с и для положительного рационального числа 
найдутся рациональные числа 
и такие, что 
причем 
(см. лемму 1 § 3). Пусть, далее, 
— любые рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам 
Тогда по определению суммы вещественных чисел
Для доказательства того, что 
, в силу транзитивности знака 
достаточно доказать, что 
но это непосредственно вытекает из неравенства 
Заметим, что вопрос о вычитании вещественных чисел как о действии, обратном сложению, полностью исчерпывается на основании свойств 
Назовем разностью вещественных чисел а и b вещественное число с такое, что с 
Убедимся в том, что таковой разностью является число 
где b — число, противоположное 
В самом деле, используя свойства 
можем записать
Убедимся в том, что существует только одно вещественное число, являющееся разностью двух данных вещественных чисел.
Предположим, что кроме указанного выше числа 
существует еще одно число 
такое, что 
Тогда, с одной стороны, 
с, с другой стороны, 
Из определения разности и из свойства 8° вытекает, что число а, противоположное а, равно разности 
Это число обычно записывают в виде 
. Не вызывает затруднения перенесение на случай вещественных чисел свойств 9°, 10°, 11°, 12°, 13° и 15°, связанных с понятием произведения. Отметим лишь в отношении свойства 12°, что если а — положительное вещественное число, а 
и 
— какие угодно рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам 
то число а, обратное для а, определяется как единственное вещественное число, удовлетворяющее неравенствам 
Свойства 
позволяют заключить, что для любых двух вещественных чисел а и 
существует и притом только одно вещественное число с, удовлетворяющее условию 
Это число с называется частным чисел а и 
Из определения частного и из свойства 12° вытекает, что число а, обратное числу а, равно частному На.
Заметим, наконец, что на случай вещественных чисел переносится и последнее, 16-е, свойство рациональных чисел, а именно:
Каково бы ни было вещественное число а можно число 1 повторить слагаемым столько раз, что полученная сумма превзойдет а 
Докажем это свойство. В случае 
доказательства не требуется, ибо 
. Пусть 
. В силу того, что определение суммы вещественных чисел в применении к сумме рациональных чисел совпадает с определением суммы рациональных чисел, повторив число 1 слагаемым 
раз, получим целое число 
Таким образом, достаточно доказать, что для числа а найдется целое число 
такое, что 
Но это очевидно: достаточно взять 
Таким образом, на случай вещественных чисел переносятся все основные свойства, сформулированные для рациональных чисел в 
настоящего параграфа. Следовательно, для вещественных чисел сохраняют силу все правила алгебры, относящиеся к арифметическим действиям и к сочетанию равенств и неравенств.
уже установлена выше. Таким образом, нужно выяснить лишь вопрос о справедливости для вещественных чисел свойств 
Легко убедиться в справедливости для вещественных чисел свойств 
, связанных с понятием суммы. Справедливость свойств 
непосредственно вытекает из определения
