3. Некоторые обобщения первого достаточного условия перегиба.
Прежде всего заметим, что в условиях теоремы 7.8 можно отказаться от требования двукратной дифференцируемости функции 
в самой точке с, сохраняя это требование лишь для точек, лежащих в некоторой окрестности слева и справа от 
. При этом следует дополнительно предположить существование конечной производной 
Доказательство теоремы 7.8 с указанными изменениями дословно совпадает с доказательством, приведенным выше.
Далее можно договориться при определении, точки перегиба не исключать случая, когда касательная к графику в рассматриваемой точке параллельна оси 
При такой договоренности в теореме 7.8 можно отказаться даже от требования однократной
дифференцируемости функции 
в самой точке с и сформулировать эту теорему следующим образом:
Пусть функция 
имеет конечную вторую производную всюду в некоторой окрестности точки с, за исключением, быть может, самой точки с. Пусть, далее, функция 
непрерывна в точке с и график этой функции имеет касательную в точке 
Тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производная 
имеет разные знаки слева и справа от точки с, то график функции 
имеет перегиб в точке 
Доказательство сформулированного утверждения полностью аналогично доказательству теоремы 7.8.
Рис. 7.11
Пример. Найти точки перегиба графика функции 
Эта функция имеет вторую производную всюду на бесконечной прямой, за исключением точки 
. В точке 
рассматриваемая функция непрерывна, но уже первая производная обращается в бесконечность. Однако график функции 
имеет в точке (0, 0) касательную, параллельную оси 
(рис. 7.11).
Так как вторая производная 
имеет слева и справа от точки 
разные знаки, то график функции 
имеет перегиб в точке (0,0).
