Главная > Математический анализ. Начальный курс
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

3. Некоторые обобщения первого достаточного условия перегиба.

Прежде всего заметим, что в условиях теоремы 7.8 можно отказаться от требования двукратной дифференцируемости функции в самой точке с, сохраняя это требование лишь для точек, лежащих в некоторой окрестности слева и справа от . При этом следует дополнительно предположить существование конечной производной

Доказательство теоремы 7.8 с указанными изменениями дословно совпадает с доказательством, приведенным выше.

Далее можно договориться при определении, точки перегиба не исключать случая, когда касательная к графику в рассматриваемой точке параллельна оси При такой договоренности в теореме 7.8 можно отказаться даже от требования однократной

дифференцируемости функции в самой точке с и сформулировать эту теорему следующим образом:

Пусть функция имеет конечную вторую производную всюду в некоторой окрестности точки с, за исключением, быть может, самой точки с. Пусть, далее, функция непрерывна в точке с и график этой функции имеет касательную в точке Тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производная имеет разные знаки слева и справа от точки с, то график функции имеет перегиб в точке

Доказательство сформулированного утверждения полностью аналогично доказательству теоремы 7.8.

Рис. 7.11

Пример. Найти точки перегиба графика функции Эта функция имеет вторую производную всюду на бесконечной прямой, за исключением точки . В точке рассматриваемая функция непрерывна, но уже первая производная обращается в бесконечность. Однако график функции имеет в точке (0, 0) касательную, параллельную оси (рис. 7.11).

Так как вторая производная имеет слева и справа от точки разные знаки, то график функции имеет перегиб в точке (0,0).

1
Оглавление
email@scask.ru