2. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла первого рода.

Достаточные признаки сходимости. Вопрос о сходимости несобственного интеграла рода эквивалентен вопросу о существовании предельного значения функции при Как известно, для существования предельного значения функции при необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла следующему условию Коши: для любого можно указать такое что для любых превосходящих В, выполняется неравенство

Таким образом, справедливо следующее утверждение. Утверждение 1 (критерий Коши сходимости несобственного интеграла). Для сходимости несобственного интеграла (9.1.3) необходимо и достаточно, чтобы для любого можно было указать такое что для любых превосходящих В,

Замечание. Отметим, что из сходимости несобственного интеграла не вытекает даже ограниченность подынтегральной функции. Например, интеграл где функция равна нулю для всех нецелых х и равна при где — целое число, очевидно, сходится, хотя подынтегральная функция не ограничена.

Поскольку критерий Коши мало удобен для практических применений, целесообразно указать различные достаточные признаки сходимости несобственных интегралов.

В дальнейшем мы все время будем считать, что функция задана на полупрямой и для любого существует обычный интеграл

Докажем следующее утверждение.

Утверждение 2 (общий признак сравнения). Пусть на полупрямой

Тогда из сходимости интеграла вытекает сходимость интеграла

Доказательство. Пусть сходится. Тогда, согласно критерию Коши, для любого найдется такое что для любых выполняется неравенство

Согласно известным неравенствам для интегралов и неравенству (9.1.4) получим Отсюда и из неравенства (9.1.5) вытекает, что для любых справедливо неравенство Следовательно, интеграл сходится.

Утверждение 3 (частный признак сравнения). Пусть на полупрямой функция удовлетворяет соотношению где с и К — постоянные, Тогда интеграл сходится. Если же существует такая постоянная что на полупрямой справедливо соотношение в котором то интеграл расходится.

Утверждение этой теоремы вытекает из утверждения 2 и примера, рассмотренного в предыдущем пункте (достаточно положить

Следствие (частный признак сравнения в предельной форме). Если при существует конечный предел , то интеграл сходится. Если же при существует положительный предел то интеграл расходится.

Убедимся в справедливости первой части следствия. Для этого заметим, что из существования предела при вытекает ограниченность функции т. е. с некоторой постоянной выполняется неравенство

После этого применяется первая часть утверждения 3. Справедливость второй части следствия вытекает из следующих рассуждений. Так как то можно указать столь малое что Этому отвечает такое что при выполняется неравенство (это неравенство следует из определения предела). Поэтому и в этом случае действует вторая часть утверждения 3.