2. Непрерывность функции m переменных по одной переменной.

Для функции нескольких переменных можно определить понятие непрерывности по одной из переменных при фиксированных значениях остальных переменных. Для введения этого понятия рассмотрим так называемые частные приращения функции в точке принадлежащей области определения функции. Зафиксируем все аргументы, кроме первого, а первому аргументу придадим произвольное приращение такое, чтобы точка с координатами находилась в области задания функции. Соответствующее

приращение функции называется частным приращением функции в точке соответствующим приращению аргумента и обозначается А, и. Таким образом,

Аналогично определяются частные приращения функции, соответствующие приращениям других аргументов:

Введем теперь понятие непрерывности функции по одной из переменных.

Функция называется непрерывной в точке по переменной если частное приращение этой функции в точке М представляет собой бесконечно малую функцию от т. е. если

При фиксированных значениях всех переменных, кроме переменной функция представляет собой функцию одной этой переменной. Отметим, что непрерывность функции по переменной означает непрерывность указанной функции одной переменной.

Очевидно, из условия непрерывности функции в данной точке М вытекает непрерывность этой функции в точке каждой из переменных . Однако из непрерывности функции в точке М по каждой из переменных не вытекает, вообще говоря, непрерывность функции в этой точке. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующие примеры.

1°. Мы будем говорить, что функция непрерывна в точке М на прямой, проходящей через эту точку, если для любой последовательности точек этой прямой, сходящейся к точке соответствующая последовательность значений функции имеет пределом частное значение функции в точке М. Так как на прямой функция представляет собой функцию одной переменной, то понятие непрерывности функции на прямой совпадает, очевидно, с понятием непрерывности указанной функции одной переменной. В частности, непрерывность функции в точке М по отдельным переменным х и у представляет собой непрерывность ее на прямых,

проходящих через точку М и параллельных координатным осям. Докажем, что функция

непрерывна в точке по каждой из переменных х и у, т. е. непрерывна на каждой из координатных осей, но не является непрерывной на всех остальных прямых проходящих через эту точку, и поэтому не является непрерывной в точке . Каждая прямая, отличная от координатных осей и проходящая через точку , может быть представлена уравнением где

В каждой точке прямой при за исключением точки функция (12.10) принимает одно и то же постоянное значение

Отсюда следует, что если последовательность отличных от О точек такой прямой сходится к точке О, то соответствующая последовательность значений функции имеет предел Так как при этот предел отличен от нуля и не совпадает с частным значением функции в точке О, то функция разрывна в этой точке на рассматриваемой прямой. Непрерывность функции на координатных осях вытекает из того, что ее значения на этих осях эавны нулю.

Может сложиться впечатление, что если функция двух переменных непрерывна на любой прямой, проходящей через данную точку, то эта функция непрерывна в указанной точке. Следующий пример показывает, что это, вообще говоря, не так. 2°. Рассмотрим функцию

Докажем, что, хотя указанная функция непрерывна на любой прямой, проходящей через точку , она не является непрерывной в этой точке. В самом деле, значения этой функции на прямой равны , и поэтому при Непрерывность этой функци на оси вытекает из того, что ее значения на этой оси равны нулю. С другой стороны, значения функции на параболе постоянны и равны и поэтому предельное значение функции при стремлении точки М к точке О по указанной параболе также равно Так как

при этот предел отличен от нуля и не совпадает с частным значением функции в точке О, то функция разрывна в: этой точке.