5. Интеграл от абстрактных функций.

В этом пункте будет изложен материал, являющийся, с одной стороны, дополнением к изложенному в гл. 9 материалу об определенном интеграле, а с другой стороны, являющийся необходимым в теории дифференцирования в банаховых пространствах.

Предположим, что отображение действует из банахова пространства в другое банахово пространство причем пространство есть числовая ось Таким образом,

Отображение сопоставляющее числу х элемент банахова пространства назовем абстрактной функцией на числовой оси. Производная абстрактной функции при условии, что она существует, представляет собой при каждом х элемент пространства — касательный вектор к кривой Для абстрактной функции, представляющей собой функцию числового аргумента х, очевидно, слабая дифференцируемость

совпадает с сильной. В этом случае, используя соотношение

вытекающее из слабой дифференцируемости, и полагая в нем получим, что

где число сильно дифференцируемо и сильная производная совпадает со слабой.

Построим интеграл от абстрактной функции определенной на сегменте Пусть — разбиение сегмента Введем интегральную сумму

Пусть шах диаметр разбиения.

Абстрактную функцию назовем интегрируемой на сегменте если для этой функции на указанном сегменте существует предел I ее интегральных сумм при стремлении диаметра разбиений к нулю, причем этот предел берется по норме пространства Таким образом, абстрактна» функция интегрируема, если

Предел I называется интегралом от абстрактной функции по сегменту и обозначается символом

Очевидно, что I является элементом поскольку являете» элементом и пространство полное, т. е. и предел о пр» принадлежит

Следует отметить, что построение теории интеграла от абстрактной функции мало чем отличается от построения теорию интеграла от числовой функции. Подчеркнем, что интеграл от абстрактной функции не является уже числом, как обычный интеграл, поэтому, например, всюду в доказательствах модуль интеграла от числовой функции надо заменять на норму интеграла от абстрактной функции и т.

Отметим следующие простые свойства интеграла от абстрактных функций. Их доказательства аналогичны доказательствам, приведенным в гл. 9 при построении интеграла Римана»

1. Интеграл от абстрактной непрерывной функции существует, т. е. такая функция интегрируема.

2. Если С — линейное отображение пространства в банахово пространство (предполагается, что С также и непрерывно), то

3. Справедливо неравенство

где справа стоит обычный интеграл Римана от числовой функции.

4. Если имеет вид где — числовая функция, а — фиксированный элемент из то

где справа также стоит интеграл Римана от функции по сегменту