2. Первое достаточное условие перегиба.

Теорема 7.8. Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки с и Тогда, если пределах указанной окрестности вторая производная имеет разные знаки слева и справа от с, то график этой функции имеет перегиб в точке

Доказательство. Заметим, во-первых, что график функции имеет касательную в точке ибо из условий теоремы вытекает существование конечной производной Далее, из того, что слева и справа от с имеет разные знаки, и из теоремы 7.5 заключаем, что направление выпуклости слева и справа от с является различным. Теорема доказана.

Пример. Найти точки перегиба графика функции Эту функцию мы неоднократно рассматривали выше (график ее изображен на рис. 7.1). Поскольку то единственное значение аргумента, для которого возможен перегиб, есть Этому значению аргумента соответствует точка графика Так как имеет разные знаки при и при то точка является точкой перегиба графика рассматриваемой функции.