§ 6. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ

Выше, для того чтобы ввести вещественные числа, были использованы бесконечные десятичные дроби. Для множества бесконечных десятичных дробей были определены правила упорядочения, сложения и умножения и было установлено, что эти правила удовлетворяют 16 основным свойствам (перечисленным в п. 1 § 1 для рациональных чисел). Описанный метод введения вещественных чисел, хотя и обладает несомненными эвристическими и методическими достоинствами, не является единственно возможным. Вещественные числа можно было бы ввести с помощью бесконечных двоичных дробей, с помощью так называемых дедекиндовых сечений в области рациональных чисел, с помощью последовательностей рациональных чисел и другими способами.

Чтобы выяснить взаимосвязь между различными методам» введения вещественных чисел, привлечем некоторые новые понятия и установим еще одно важное свойство множества изученных выше вещественных чисел.

1. Полнота множества вещественных чисел.

Пусть А и В — два произвольных множества. Будем говорить, что между множествами А и В установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу множества А отвечает единственный элемент множества В, каждый элемент множества В сопоставлен некоторому элементу множества А и разным, элементам множества А отвечают разные элементы множества В.

Назовем два множества, для элементов каждого из которых определены правила упорядочения, сложения и умножения, изоморфными друг другу относительно этих правил, если между элементами этих множеств можно установить взаимна однозначное соответствие так, что если элементам а и первого множества соответствуют элементы а и b второго множества, то 1) элементы а и b связаны тем же знаком что и элементы а и элементу а соответствует элемент а элементу соответствует элемент

Аналогично можно было бы говорить не о правилах упорядочения, сложения и умножения, а о каких-либо других правилах, характеризующих соотношения между элементами, и ввести

понятие множеств, изоморфных друг другу относительно указанных правил.

Примером двух множеств, изоморфных друг другу относительно правил упорядочения, сложения и умножения, служит множество рациональных чисел, введенных в виде отношения целых чисел, с соответствующими (см. п. 1 § 1) правилами упорядочения, сложения и умножения и множество рациональных чисел, записанных в виде бесконечных дробей с обычными правдами упорядочения, сложения и умножения вещественных чисел.

Рассмотрим более внимательно два множества: множество всех рациональных чисел и множество всех вещественных чисел. Для каждого из этих множеств определены правила упорядочения, сложения и умножения и справедливы остальные из 16 основных свойств. Вместе с тем ясно, что множество всех вещественных чисел является более «широким», чем множество всех рациональных чисел, ибо в целом множество всех вещественных чисел не изоморфно относительно правил упорядочения, сложения и умножения множеству всех рациональных чисел, но в множестве вещественных чисел можно выделить часть, изоморфную относительно указанных правил множеству рациональных чисел.

Естественно, возникает вопрос, нельзя ли и для множества всех вещественных чисел построить более «широкое» множество объектов, обладающее такими свойствами: 1) в этом более «широком» множестве определены правила упорядочения, сложения и умножения и справедливы остальные из 16 основных свойств; 2) в целом более «широкое» множество не изоморфно относительно указанных правил множеству всех вещественных чисел; 3) в более «широком» множестве можно выделить часть, изоморфную относительно указанных правил множеству всех вещественных чисел. Мы докажем, что такого более «широкого» множества не существует, т. е. множество всех вещественных чисел является полным относительно правил упорядочения, сложения и умножения и остальных 16 основных свойств.

Вообще, произвольное множество объектов, для которого определены некоторые правила и справедливы некоторые свойства, называется полным относительно этих правил и свойств, если нельзя построить более «широкое» множество объектов такое, чтобы 1) в этом более «широком» множестве были определены те же правила и справедливы те же свойства; 2) в целом это более «широкое» множество не было изоморфно данному относительно указанных правил; 3) в этом более «широком»

множестве существовала часть, изоморфная данному множеству относительно указанных правил.

Можно утверждать, что множество всех рациональных чисел не является полным относительно правил упорядочения, сложения и умножения и остальных 16 основных свойств, ибо существует более «широкое» множество (множество вещественных; чисел), удовлетворяющее требованиям 1), 2) 3) из только что сформулированного определения.

Докажем теперь, что множество всех вещественных чисел является полным относительно правил упорядочения, сложения и умножения и остальных 16 основных свойств.

Предположим противное, т. е. предположим, что существует более «широкое» множество объектов такое, что выполнены требования 1), 2), 3) из сформулированного выше определения, и обозначим через ту часть множества которая: изморфна относительно правил упорядочения, сложения и умножения множеству всех вещественных чисел.

Заметим прежде всего, что у множества существует единственная пара элементов 0 и Г, играющих особую роль нуля и единицы Далее можно утверждать, что элементы 0 и У входят в состав множества и находятся во взаимно однозначном соответствии с вещественными числами 0 и Пусть. а — какой-либо элемент множества не принадлежащий множеству

В силу правила упорядочения мы можем разбить все элементы множества на два класса — верхний и нижний, отнеся к верхнему классу все элементы х, удовлетворяющие неравенству а к нижнему классу все элементы х, удовлетворяющие неравенству Оба эти класса не являются пустыми. В самом деле, докажем, например, что верхний класс непуст. Повторив элемент Г слагаемым достаточное число раз, мы, в силу свойства 16°, получим элемент множества удовлетворяющий неравенству т. е. принадлежащий верхнему классу. Из свойства 4° вытекает, что каждый элемент нижнего класса меньше любого элемента верхнего класса.

В силу изоморфизма множества и множества всех вещественных чисел можно утверждать, что множество всех вещественных чисел разбивается на два класса, причем каждое число из нижнего класса меньше любого числа из верхнего класса. Но это означает, что нижний класс вещественных чисел ограничен сверху и имеет (в силу теоремы 2.1) точную верхнюю грань М, а верхний класс имеет точную нижнюю грань т. Из определения точных граней вытекает, что обе грани и М заключены между вещественными числами, как угодно близкими между собой, а поэтому Так как число является одним из вещественных чисел, то оно принадлежит одному из классов, т. е. существует либо наименьший элемент в верхнем классе, либо наибольший элемент в нижнем классе. Докажем, что оба эти утверждения абсурдны. Пусть, например, существует наименьший элемент в верхнем классе вещественных чисел. Тогда существует наименьший элемент и в верхнем классе, отвечающем разбиению множества По определению верхнего класса Согласно свойствам суммы существует разность причем согласно этим свойствам Но тогда в силу свойства 12° для элемента существует обратный, который в силу свойств произведения равен частному Согласно свойству 16° элемент Г можно повторить слагаемым столько раз, что полученный при этом «целый» элемент будет принадлежать и удовлетворять неравенству Из последнего неравенства в силу свойств произведения и суммы получим

Так как элементы принадлежат множеству то и элемент также принадлежит этому множеству и, очевидно, удовлетворяет неравенству т. Но тогда неравенство (2.19) означает, что в верхнем классе имеется элемент, - меньший не является наименьшим элементом. Полученное противоречие доказывает полноту множества вещественных чисел.