4. Критерий спрямляемости кривой. Вычисление длины дуги кривой.

Приведем достаточное условие спрямляемости кривой и формулу для вычисления длины ее дуги.

Договоримся об употреблении следующей терминологии.

1°. Будем говорить, что имеет на сегменте непрерывную первую производную, если производная существует и непрерывна в любой внутренней точке этого сегмента и если, кроме того, существуют конечные пределы

При таком определении функция окажется непрерывной на сегменте если значения этой функции на концах указанного сегмента положить равными пределам соответственно.

2°. Будем говорить, что функция имеет на сегменте ограниченную первую производную, если существует и удовлетворяет соотношению где М — некоторая постоянная, для всех внутренних точек сегмента а

3°. Будем говорить, что производная функции интегрируема на сегменте , если существует для всех внутренних точек этого сегмента и после доопределения произвольными конечными значениями на концах этого сегмента представляет собой интегрируемую на этом сегменте функцию.

Теорема 10.1. Пусть функции непрерывны и имеют непрерывные первые производные на сегменте . Тогда кривая определяемая параметрическими уравнениями при t из , спрямляема и длина ее дуги может быть вычислена по формуле

Доказательство. Сначала докажем, что кривая спрямляема. Рассмотрим формулу для длины ломаной I, вписанной в кривую и отвечающей произвольному разбиению Т сегмента

Для каждой из функций выполнены на каждом частичном сегменте (при все условия теоремы 6.4 Лагранжа . В силу этой теоремы между найдутся точки и гц, такие, что будут справедливы равенства

где

Следовательно,

По условию теоремы функции имеют на сегменте непрерывные, а потому и ограниченные первые производные, т. е. для всех лежащих внутри сегмента , справедливы неравенства Поэтому из формулы (10.8) следует, что

Таким образом, множество длин вписанных в кривую ломаных, отвечающих всевозможным разбиениям Т сегмента , ограничено, и по определению кривая спрямляема.

Докажем теперь, что длина кривой может быть вычислена по формуле (10.7).

Введем в рассмотрение следующую конкретную интегральную сумму интегрируемой функции

отвечающую разбиению Т сегмента и выбору промежуточных точек определенному в формуле (10.8). Пусть — диаметр разбиения Т, т. е. Докажем, что для любого положительного числа можно указать такое что при выполняется неравенство

где I — предел при интегральных сумм т. е. Другими словами, мы покажем, что можно выбрать столь малым диаметр разбиения Т, что длина ломаной I, вписанной в кривую и отвечающей этому разбиению Т, отличается от интеграла I на величину, меньшую, чем наперед заданное число Заметим, что

где — точные грани функции на частичном сегменте

Поэтому

где и — соответственно верхняя и нижняя суммы функции для разбиения Т сегмента .

Функции непрерывны, а значит, и интегрируемы на сегменте , поскольку по условию на , непрерывны

Из определения интегрируемости и из основной теоремы § 3 гл. 9 вытекает, что для любого можно указать такое что при диаметре разбиения выполняются неравенства

Поэтому при в силу (10.10) и (10.11) справедливы неравенства

и справедливость неравенства (10.9) доказана.

Докажем теперь, что среди всевозможных ломаных длины которых удовлетворяют неравенству (10.9), имеются ломаные, длины которых отличаются от длины дуги кривой меньше чем на

Действительно, — точная верхняя грань множества длин ломаных I, вписанных в кривую и отвечающих всевозможным разбиениям сегмента . Поэтому найдется такое разбиение Т, что длина соответствующей этому разбиению ломаной I удовлетворяет неравенству

Подвергаем теперь разбиение Т измельчению, добавляя к нему новые точки разбиения так, чтобы в результате добавления этих точек получилось разбиение Т с диаметром меньшим При этом, как мы показали, длина ломаной отвечающей этому разбиению Т, удовлетворяет неравенству (10.9). Так как все вершины ломаной, отвечающей разбиению Т, являются также вершинами ломаной, отвечающей разбиению Т, то, согласно доказанной в лемме, . Поэтому неравенства (10.12) дают право утверждать, что

Итак, мы доказали, что среди множества ломаных длины которых удовлетворяют неравенству (10.9), имеются ломаные, длины которых удовлетворяют и неравенству (10.13). Из неравенств (10.9) и (10.13) получаем, что

Поскольку — произвольное положительное число, то и, теорема полностью доказана.

Замечание 1. Если функции непрерывны имеют на сегменте , ограниченные первые производные, то кривая определяемая уравнениями спрямляема.

Действительно, в ходе доказательства теоремы 10.1 мы установили, что если функции непрерывны на , то при условии ограниченности на сегменте первых производных функций длины ломаных, вписанных в кривую и отвечающих всевозможным разбиениям Т сегмента ограничены.

Замечание 2. Формула (10.7) для вычисления длины дуги справедлива, если функции непрерывны, а производные только интегрируемы на сегменте .

В самом деле, из интегрируемости этих производных следует их ограниченность, а поэтому, в силу замечания 1, и спрямляемость кривой Для вывода неравенств (10.10), (10.11), а следовательно, и неравенства (10.9) достаточно лишь непрерывности и интегрируемости на сегменте , так как отсюда, согласно теореме 9.4 (см. гл. 9), вытекает интегрируемость на сегменте функции Все остальные рассуждения такие же, как и при доказательстве теоремы (10.1).

Замечание 3. Если кривая является графиком функции непрерывной и имеющей на сегменте непрерывную

производную то кривая спрямляема и ее длина может быть найдена по формуле

Действительно, график рассматриваемой функции представляет «собой кривую, определяемую параметрическими уравнениями При этом все условия теоремы 10.1 выполнены. Полагая в формуле и заменяя переменную интегрирования t на х, получим формулу (10.14).

Замечание 4. Если кривая определяется так называемым полярным уравнением и функция непрерывна и имеет на сегменте непрерывную производную, то кривая спрямляема и ее длина определяется равенством

Для доказательства надо воспользоваться формулами перехода от полярных координат к декартовым Таким образом, кривая определяется параметрическими уравнениями , причем выполнены все условия теоремы 10.1. Простые вычисления приводят к формуле (10.15).

Замечание 5. Если рассматривается пространственная параметризуемая кривая заданная уравнениями и функции непрерывны и имеют непрерывные первые производные на , то кривая спрямляема и длина ее дуги может быть найдена по формуле

Доказательство аналогично доказательству теоремы 10.1.

Замечание 6. Если функции непрерывны и имеют ограниченные на сегменте первые производные, то кривая определяемая уравнениями (10.3), спрямляема. Если при этом производные указанных функций, интегрируемы на сегменте , то длина дуги кривой может быть также вычислена по формуле (10.16) (см. замечания 1 и 2).