§ 2. ВЫПУКЛОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

Предположим, что функция дифференцируема в любой точке интервала Тогда, как установлено в п. 3 § 1 гл. 5, существует касательная к графику функции проходящая через любую точку этого графика причем эта касательная не параллельна оси

Определение. Будем говорить, что график функции имеет на интервале выпуклость, направленную вниз (вверх), если график этой функции в пределах указанного интервала лежит не ниже (не выше) любой своей касательной.

Замечание 1. Термин «график лежит не ниже (или не еыше) своей касательной» имеет смысл, ибо касательная не параллельна оси

Рис. 7.8

Рис. 7.9

На рис. 7.7 изображен график функции, имеющий на интервале выпуклость, направленную вниз, а на рис. 7.8 изображен график функции, имеющий выпуклость, направленную вверх.

Теорема 7.5. Если функция имеет на интервале конечную вторую производную и если эта производная неотрицательна (неположительна) всюду на этом интервале, то график функции имеет на интервале выпуклость, направленную вниз (вверх).

Доказательство. Ради определенности рассмотрим случай, когда вторая производная всюду на Обозначим через с любую точку интервала (рис. 7.9). Требуется доказать, что график функции в пределах интервала лежит не ниже касательной, проходящей через точку . Запишем уравнение указанной касательной, обозначая ее текущую ординату через Поскольку угловой коэффициент указанной касательной равен то ее уравнение имеет вид

Разложим функцию в окрестности точки с по формуле Тейлора, беря в этой формуле Получим

где остаточный член взят в форме Лагранжа, заключено между с их. (Поскольку по условию имеет вторую производную на интервале формула (7.6) справедлива для любого х из интервала см. §§ 7 и 8 гл. 6.)

Сопоставляя (7.6) и (7.5), будем иметь

Поскольку вторая производная по условию 0 всюду на то правая часть (7.7) неотрицательна, т. е. для всех х из справедливо или

Последнее неравенство доказывает, что график функции всюду в пределах интервала лежит не ниже касательной (7.5).

Аналогично доказывается теорема для случая

Замечание 2. Если всюду на интервале то, как легко убедиться, — линейная функция, т. е. график ее есть прямая линия. В этом случае направление выпуклости (Можно считать произвольным.

Теорема 7.6. Пусть вторая производная функции непрерывна и положительна (отрицательна) в точке с. Тогда существует такая окрестность точки с, в пределах которой график

функции имеет выпуклость, направленную вниз (вверх).

Доказательство. По теореме об устойчивости знака непрерывной функции найдется такая окрестность точки с, в пределах, которой вторая производная положительна (отрицательна). По предыдущей теореме график функции имеет в пределах этой окрестности выпуклость, направленную вниз (вверх).

Таким образом, направление выпуклости графика функции, полностью характеризуется знаком второй производной этой функции.

Пример. Исследовать направление выпуклости графика функции Из вида второй производной вытекает, что эта производная отрицательна при и положительна при Таким образом, выпуклость графика функции направлена вверх на участке и вниз на участке (см. рис. 7.1).