3. Основные свойства непрерывных функций нескольких переменных.

В этом пункте мы перечислим основные свойства непрерывных функций нескольких переменных. Поскольку доказательства этих свойств в основном аналогичны доказательствам соответствующих свойств функций одной переменной, то, как правило, мы будем давать лишь краткие пояснения, предоставляя детали доказательства читателю.

1°. Арифметические операции над непрерывными функциями. Если функции заданы на одном и том же множестве и непрерывны в некоторой точке А этого множества, то функции и также непрерывны в точке А (в случае частного нужно дополнительно потребовать, чтобы

Это утверждение сразу же вытекает из соответствующего» утверждения об арифметических операциях над функциями, имеющими предел (см. п. 3 § 2 настоящей главы).

2°. Непрерывность сложной функции. Введем понятие сложной функции нескольких переменных. Пусть функции

заданы на множестве евклидова пространства — координаты точек в этом пространстве). Тогда каждой точке множества ставится в соответствие с помощью формул (12.11) точка евклидова пространства . Обозначим через множество всех таких точек. Пусть - функция переменных, заданная на указанном множестве . В этом случае мы будем говорить, что на множестве евклидова пространства определена сложная функция где являются функциями переменных причем эти функции определяются соотношениями (12.11). Справедливо следующее

Утверждение. Пусть функции непрерывны в точке а функция непрерывна в точке где Тогда сложная функция где представляют собой определенные выше функции аргументов непрерывна в точке

Для доказательства этого утверждения рассмотрим произвольную сходящуюся к А последовательность точек множества Обозначим через соответствующую последовательность точек пространства координаты которых равны

Из непрерывности функций в точке А и из определения непрерывности по Гейне вытекает сходимость последовательности точек к точке

Далее из непрерывности функции в точке В и из определения непрерывности по Гейне вытекает сходимость последовательности к числу Но это и означает, что последовательность значений этой сложной функции сходится к частному значению этой сложной функции т. е. непрерывность сложной функции в точке А.

3°. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.

Теорема 12.4. Если функция непрерывна в точке А евклидова пространства и если то существует талая -окрестность точки А, в пределах которой не обращается в нуль и имеет знак, совпадающий со знаком

Справедливость этой теоремы почти непосредственно вытекает из определения непрерывности функции в точке А по Коши. В самом деле, из этого определения вытекает, что для любого найдется отвечающее ему такое, что всюду в -окрестности точки А. Если в этих рассуждениях взять в качестве положительное число то мы получим, что все три числа будут знака, и потому имеет тот же знак, что и всюду в -окрестности точки А.

4°. Теорема о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение.

Теорема 12.5. Пусть функция непрерывна во всех точках связного множества евклидова пространства причем — значения этой функции в точках А и В этого множества. Пусть, далее, С — любое число, заключенное между Тогда на любой непрерывной кривой соединяющей точки А и В и целиком располагающейся в найдется точка такая, что

Доказательство. Пусть — уравнения непрерывной кривой соединяющей точки А и В множества и целиком располагающейся в (см. п. 2 § 1). На сегменте определена сложная функция где

Очевидно, значения этой функции на сегменте совпадают со значениями функции на кривой Указанная сложная функция одной переменной в силу утверждения раздела 2° этого пункта, непрерывна на сегменте и, согласно теореме 4.13, в некоторой точке сегмента принимает значение С. Поэтому в точке кривой с координатами получим Теорема доказана.

5°. Ограниченность функции, непрерывной на, замкнутом ограниченном множестве.

Теорема 12.6. (первая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве то она ограничена на этом множестве.

Для того чтобы убедиться в справедливости этой теоремы, вы делим (как и в доказательстве аналогичной теоремы 4.14) последовательность точек множества для которых . В силу теоремы Больцано—Вейерштрасса (см. п. 2 § 2) из; можно выделить сходящуюся подпоследовательность предел М которой в силу замечания к теореме Больцано-Вейер-штрасса принадлежит множеству Очевидно, последовательность бесконечно большая. С другой стороны, в силу непрерывности функции в точке М эта последовательность должна сходиться к Полученное противоречие доказывает теорему.

6°. Достижение функцией, непрерывной замкнутом ограниченном множестве, своих точных граней. Точной верхней гранью функции на множестве называется такое число , которое удовлетворяет двум требованиям: для всех точек М множества

2) для любого найдется хотя бы одна точка М множества для которой е.

Аналогично определяется точная нижняя грань и функции на множестве

Для обозначения точных граней функции на множестве используют следующую символику:

Теорема 12.7 (вторая теорема Вейерштрасса), Если функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , то она достигает на этом множестве своих точных верхней и нижней граней.

Доказательство этой теоремы почти дословно повторяет доказательство теоремы 4.15 (т. е. второй теоремы Вейерштрасса для; функции одной переменной).

Читатель без труда проведет это доказательство сам.

7°. Понятие равномерной непрерывности функции нескольких переменных. Функция называется равномерно непрерывной на множестве евклидова пространства если для любого положительного числа можно указать такое положительное 6, зависящее только от что для любых двух точек М и М" множества, удовлетворяющих условию выполняется неравенство

Имеет место следующая теорема.

Теорема 12.8. (теорема о равномерной непрерывности). Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция равномерно непрерывна на этом множестве.

Доказательство этой теоремы совершенно аналогично доказательству теоремы 4.16 и получается из него путем замены термина «сегмент термином «множество замены буквы х на букву М и замены выражений типа на символ

Замечание. Назовем диаметром ограниченного множества М точную верхнюю грань чисел где М и всевозможные точки множества Используя понятие диаметра множества, отметим следующее свойство непрерывных на замкнутых ограниченных множествах функций. Пусть функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве Тогда для любого положительного числа можно указать такое что на каждом принадлежащем множеству замкнутом подмножестве диаметр которого меньше колебание со функции меньше е.

Доказательство этого свойства совершенно аналогично доказательству следствия из теоремы 4.16.

Замечание. Множество -мерного евклидова пространства называется компактом, если из любой системы эткрытых множеств, покрывающих множество можно выделить конечную подсистему, также покрывающую это множество.

Точно так же, как и для пространства всех вещественных чисел (см. п. 3 § 7 гл. 4), доказывается, что множество -мерного евклидова пространства является компактом тогда и только тогда, когда оно является замкнутым и ограниченным.

Таким образом, первая и вторая теоремы Вейерштрасса и теорема о равномерной непрерывности справедливы функции, непрерывной на компакте.