7. Базис пространства.

Введем понятие базиса.

Определение 17. Система открытых множеств метрического пространства X называется базисом этого пространства, если всякое непустое открытое множество пространства X может быть получено как объединение некоторых Е из множеств системы.

Справедлива следующая лемма.

Лемма 10. Для того чтобы система открытых множеств была базисом пространства X, необходимо и достаточно, чтобы для всякого открытого множества и всякой точки нашлось бы такое множество из данной системы, что

Доказательство. Допустим, что система базис пространства. Тогда любое открытое множество есть сумма некоторых из множеств Поэтому для всякой точки существует такое множество что и принадлежит данной системе

Обратно, пусть выполнены условия, сформулированные в лемме. Тогда всякое открытое множество представимо в виде

т. е. система — базис пространства. Лемма доказана.

Определение 18. Метрическое пространство X называется пространством со счетным базисом, если в нем существует хотя бы один базис, состоящий не более чем из счетного числа множеств. Пространства со счетным базисом называются также пространствами со второй аксиомой счетности.

Лемма 11 Метрическое пространство X является пространством со счетным базисом тогда, когда в нем имеется счетное, всюду плотное множество. Обратно, если в пространстве имеется счетный базис, то в нем есть и счетное всюду плотное множество.

Доказательство. Пусть - счетное, всюду плотное множество в X. Всевозможные шары где — всевозможные натуральные числа, образуют базис пространства, причем счетный.

Обратно, если в X имеется счетный базис то, выбрав по точке мы получаем множество которое всюду плотно. Действительно, если бы то открытое множество было бы не пустым и не содержало бы ни одной точки из что невозможно, так как —

открытое множество и оно есть объединение некоторых из множеств системы

Примеры. 1) Легко построить метрическое пространство и замкнутые шары такие, что

Действительно, пусть - метрическое пространство, состоящее из всех точек замкнутого круга на плоскости с обычной евклидовой метрикой . Шар определим так: . Пусть шар Тогда

2) Множество А метрического пространства замкнуто тогда и когда оно совпадает со своим замыканием А, т. е.

Действительно, если то, так как замыкание любого множества замкнуто (как пересечение замкнутых), А — замкнуто.

Обратно, А принадлежит любому замкнутому множеству, содержащему А; одним из таких замкнутых множеств является в данном случае само А, т. е. . С другой стороны, по опре делению замыкания т. е. если А замкнуто, то .

3) Шар , как уже говорилось выше, в метрическом пространстве X — открытое множество. (Если то шар при будет принадлежать исходному множеству: . Действительно, если то

Аналогично замкнутый шар — множество — замкнутое множество в X. Это следует из того, что его дополнение есть множество открытое.

4) Замыкание А множества Л метрического пространства состоит из всех точек, которые являются либо предельными точками множества А, либо элементами Действительно, всякое множество содержится в своем замыкании: . Докажем, что замыкание Л содержит и предельные точки для А. В самом деле, замыкание множества — множество замкнутое, а если множество замкнуто, то оно содержит все свои предельные точки: если точка не принадлежит замкнутому множеству, то она принадлежит его дополнению, которое и является окрестностью этой точки, свободной от точек замкнутого множества, т. е. точка не является предельной для замкнутого множества. Иными словами, А содержит все свои предельные

точки; так как то А содержит и все предельные точки множества А. Таким образом, замыкание А содержит точки множества А и точки, предельные для А. Обратно, пусть покажем, что тогда предельная для Л, либо Действительно, если то все доказано. Если же но то Предельная для А. В самом деле, допустим противное, тогда существует окрестность точки свободная от точек множества А. Ее дополнение — замкнутое множество, содержащее Л и не содержащее х, т. е. точка что невозможно.

5) В метрическом пространстве можно построить открытый шар и замкнутый шар с общим центром и равными радиусами такие, что . Действительно, пусть X — множество, состоящее более чем из одной точки, и пусть

тогда

Свойства метрических пространств

В предыдущем разделе были изложены основные свойства метрических пространств, базирующиеся на понятии открытого и замкнутого множеств. Следует подчеркнуть, что фактически все утверждения предыдущего раздела используют только свойства открытых множеств — то, что сумма любого числа и пересечение конечного числа открытых множеств есть множество открытое, все пространство и пустое множество открыты, и не используют такие понятия, как шар, расстояние. Все это наводит на мысль, что можно строить пространства, в которых открытые (замкнутые) множества определяются аксиоматически с сохранением свойств, сформулированных в лемме 1. Тогда надобность в определениях 1 и 2 отпадает, а утверждение леммы 1 станет аксиомой. Именно так мы и поступим в следующем разделе, когда будем изучать топологические пространства. Ясно, что при этом будет достигнуто полное единообразие в изучении основных свойств метрических и топологических пространств.

Такой подход к изучению свойств метрических пространств (формулировки и доказательства, использующие только свойства открытых (замкнутых) множеств) обладает, конечно, рядом преимуществ — например, допускает обобщения на классы более общих пространств. Вместе с тем, поскольку в структуру метрического пространства введена функция расстояния, эти пространства должны обладать и своими, присущими только

им свойствами. Более того, чаще всего именно эти свойства и изучаются при рассмотрении метрических пространств.

В настоящем разделе мы и изложим эти фундаментальные свойства метрических пространств. Все они используют понятие полноты пространства.

Определение 1. Последовательность элементов метрического пространства называется фундаментальной, если для любого числа существует такое натуральное число что для любых выполняется неравенство

Определение 2. Метрическое пространство называется полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность сходится к некоторому пределу, являющемуся элементом этого пространства.

Заметим, что, как мы уже говорили, если последовательность сходится к элементу х, то при

Теорема (принцип вложенных шаров). Для того чтобы метрическое пространство было полным, необходимо и достаточно, чтобы в нем всякая последовательность замкнутых вложенных друг в друга шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имела непустое пересечение.

Доказательство. Необходимость. Пусть (X, -полное метрическое пространство, вложенные друг в друга замкнутые шары. Последовательность их центров фундаментальна, так как

Поскольку пространство X полное, то существует элемент пространства X такой, что Очевидно, что

Действительно, — предельная точка для каждого (см. определение ввиду того, что при а так как замкнутое множество, то (см. пример 4 с.

Достаточность. Пусть выполнены условия теоремы относительно шаров. Докажем, что пространство X полное. Мы должны показать, что если — фундаментальная последовательность, то она имеет предел Выберем точку такую, что Примем за центр замкнутого шара радиуса 1, который обозначим через . Выберем, далее, точку из последовательности удовлетворяющую следующим условиям: для любого Примем точку за центр шара радиуса 1/2. Пусть уже выбраны,

тогда выберем так, чтобы выполнялись условия: для любого Как и выше, примем за центр замкнутого шара радиуса Мы получили последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю. По предположению существует точка х, общая для всех шаров. Ясно, что т. е. фундаментальная последовательность содержит последовательность сходящуюся к некоторой точке х пространства. Тогда и сама последовательность сходится к этому же пределу. Действительно, применяя свойство треугольника для функции расстояния (см. определение 1 п. 1), имеем

Таким образом, . Теорема доказана.

Замечание. В условиях теоремы все условия являются существенными: полнота пространства, замкнутость шаров, условие того, что они вложены, стремление их радиусов к нулю. Наименее очевидным является необходимость последнего условия. Вот пример полного метрического пространства и последовательности вложенных друг в друга замкнутых шаров, имеющих пустое пересечение.

Пусть , где — множество натуральных чисел, а

Пусть

Тогда очевидно, что замкнуты и вложены друг в друга, а пространство полно, поскольку каждая фундаментальная последовательность сходится в пространстве (она является, как говорят, «стационарной»). Однако пересечение указанных шаров, очевидно, пусто.

Определение 3. Множество М, расположенное в метрическом пространстве X, называется множеством первой категории, если его можно представить в виде объединения счетного числа нигде не плотных в X множеств.

Все остальные множества называются множествами второй категории.

Теорема (теорема о категориях). Пусть — непустое полное метрическое пространство, тогда X — множество

во второй категории, т. е. X нельзя представить в виде объединения счетного числа нигде не плотных множеств.

Доказательство. Предположим противное, что и каждое из множеств нигде не плотно в X. Пусть — некоторый замкнутый шар радиуса единица. Поскольку множество нигде не плотно, то существует замкнутый шар радиуса меньше 1/2 такой, что Поскольку множество нигде не плотно, то точно так же существует замкнутый шар радиуса меньше 1/22 принадлежащий для которого . В результате мы получаем последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров радиусы которых стремятся к нулю. По предыдущей теореме существует для любого Так как по построению то для любого Следовательно, противоречит предположению: Теорема доказана.

Определение 4. Отображение метрического пространства X в это же пространство называется сжимающим, если существует такое число что

Теорема (принцип сжимающих отображений. Всякое сжимающее отображение полного метрического пространства в это же пространство имеет и при том только одну неподвижную точку т. е. такую точку что

Доказательство. Пусть — некоторая точка из X. Определим последовательность по правилу:

Последовательность фундаментальна в X. Действительно, если то

где

Таким образом, . В силу полноты пространства X существует Пусть Тогда в силу непрерывности отображения имеем

Итак, неподвижная точка существует. Докажем ее единственность. Если то

Замечание. Если отображение метрического пространства X в себя обладает лишь тем свойством, что при то неподвижной точки может и не быть. Вот соответствующий пример: пусть , где — обычная евклидова метрика. Пусть

Тогда

Однако неподвижной точки нет: ни для какого же!

Определение 5. Будем говорить, что два отображения и метрического пространства. в это же пространство коммутируют, если для любого справедливо равенство

Теорема (обобщение принципа сжатых отображений). Пусть — отображения полного метрического пространства в это же пространство. Тогда, если отображение сжимающее и отображения и коммутируют, то уравнение имеет решение

Доказательство. По предыдущей теореме существует и притом только одна точка такая, что Применим к обеим частям равенства отображение Воспользовавшись тем, что отображения коммутируют, получим

где Учитывая, что отображение сжимающее и неподвижная точка у этого отображения одна, получим, что Следовательно, и у отображения существует неподвижная точка, а именно найденная выше точка х.

Замечание. Степенью отображения называется отображение полученное в результате последовательных применений отображения

Из предыдущей теоремы в силу того, что отображения и коммутируют, следует, что если отображение таково, что некоторая

которая степень его — сжимающее отображение, то уравнение имеет единственное решение.

Примеры. 1) Нахождение корней функции. Пусть действительная функция, удовлетворяющая условию Липшица:

и отображающая сегмент в себя. Если ввести метрическое пространство , где — обычная евклидова метрика на сегменте, то отображение в X сжимающее, и потому числовая последовательность сходится к единственному корню уравнения для любого Отображение сжимающее, если, например,

Пусть нам надо решить уравнение вида , причем действительная, определенная на функция, при Тогда, если рассмотреть функцию и найти корень уравнения то мы решим исходную задачу. К этому последнему уравнению можно применить предыдущие рассуждения если, например Имеем Нетрудно подобрать действительное число чтобы было выполнено условие: Тогда, как нетрудно убедиться, функция отображает сегмент в себя. Действительно, так как то не убывает, следовательно, для любого t из сегмента Но для. любого

2) Нахождение решений систем уравнений вида

Пусть — отображение -мерного пространства в себя: набор переходит в набор т. е. отображение переводит набор» из чисел в набор из чисел. Здесь - векторы, — матрица,

Если отображение будет в некотором метрическом пространстве и при некоторых условиях сжимающим, то векторное уравнение будет иметь по предыдущему одно и только одно решение. Найдем такие условия на отображении и введем метрику на множестве X, т. е. образуем соответствующие метрические пространства:

A) Пусть Тогда

и условие того, что отображение сжимающее, будет выполнено, если

Б) Если ввести метрику на X по правилу

то, как нетрудно вычислить, условие того, что отображение сжимающее, будет иметь вид

B) Наконец, если метрика задана так:

то отображение сжимающее, если

Выписанные условия достаточны, для того чтобы уравнение имело и притом единственное решение или, что то же самое, чтобы система имела и притом одно решение.

3) Существование и единственность решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Рассмотрим так называемую задачу Коши. Надлежит найти такую дифференцируемую функцию которая удовлетворяла бы уравнению и при имела заданное значение где — некоторое число; при этом надлежит доказать, при определенных условиях такое решение только одно.

Предположим, что функция непрерывна на множестве: и удовлетворяет с константой К условию Липшица по у, т. е. Для всех точек

и пусть — внутренняя точка сегмента Легко убедиться, что решение задачи Коши эквивалентно решению интегрального уравнения Значит, задано отображение множества функций по правилу:

Введем пространство Тогда отображение определено на этом пространстве и отображает его в себя, а задача о нахождении решения интегрального уравнения сводится к нахождению неподвижной точки отображения — нахождению функции у такой, что Для того чтобы такая точка существовала и была одна, достаточно, чтобы отображение было сжимающее.

Поскольку из условия Липшица следует, что

то

Здесь — метрика в . Следовательно, отображение сжимающее, если сегмент достаточно мал, так что

При этих условиях мы получаем теорему существования и единственности решения задачи Коши на сегменте содержащем точку

4) Оператор Вольтерра, свойства его степени. Покажем, что некоторая степень отображения, задаваемого интегральным оператором Вольтерра, имеющим вид

где - некоторое число, - непрерывные функции своих аргументов, представляет собой сжимающее отображение в

Пусть

Тогда

Отсюда

Всегда можно выбрать такое и, следовательно, при этом отображение будет сжимающим. Согласно замечанию после предыдущей теоремы интегральное уравнение вида имеет при любом X решение, и притом единственное.