4. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Рациональной дробью называется отношение двух алгебраических многочленов.

Всюду в дальнейшем мы будем рассматривать рациональную дробь, являющуюся отношением двух алгебраических многочленов с вещественными коэффициентами (такую дробь принято называть рациональной дробью с вещественными коэффициентами).

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена стоящего в числителе, меньше степени многочлена стоящего в знаменателе.

В противном случае рациональная дробь называется неправильной.

Докажем две вспомогательные теоремы.

Лемма 1. Пусть - правильная рациональная дробь с вещественными коэффициентами, знаменатель которой имеет вещественное число а корнем кратности а, т. е.

Тогда для этой дроби справедливо следующее представление:

В этом представлении А — вещественная постоянная, равная: — целое число, удовлетворяющее условию — некоторый многочлен с вещественными коэффициентами такой, что последняя дробь в правой части (8.36) является правильной.

Доказательство. Обозначив через А — вещественное число рассмотрим разность

Приводя эту разность к общему знаменателю, будем иметь

где через обозначен многочлен с вещественными коэффициентами вида

Так как вещественное число а является корнем многочлена некоторой кратности

Это означает, что справедливо представление

— некоторый многочлен с вещественными коэффициентами.

Вставляя представление (8.38) в равенство (8.37), окончательно будем иметь

Тем самым представление (8.36) доказано. Остается только убедиться в том, что дробь, стоящая в правой части (8.39), является правильной, но это сразу вытекает из того, что разность двух правильных рациональных дробей является правильной рациональной дробью (чтобы убедиться в этом, достаточно привести разность правильных рациональных дробей к общему знаменателю). Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Пусть - правильная рациональная дробь с вещественными коэффициентами, знаменатель которой имеет комплексные числа корнями кратности , т. е.

Тогда для этой дроби справедливо следующее представление:

В этом представлении М и — некоторые вещественные постоянные, — целое число — некоторый многочлен с. вещественными коэффициентами такой, что последняя дробь в правой части (8.41) является правильной.

Доказательство. Договоримся обозначать вещественную часть комплексной величины А символом мнимую часть комплексной величины А символом Положим

Нетрудно проверить, что указанные М и являются решением следующего уравнения:

В самом деле, поделив это уравнение на и приравняв нулю действительные и мнимые части, мы получим два равенства

из которых определяются написанные выше М к Рассмотрим теперь разность

Приводя указанную разность к общему знаменателю, будем иметь

Здесь через обозначен многочлен с вещественными коэффициентами вида Равенство (8.42) позволяет утверждать, что комплексное число а, а значит, в силу теоремы 8.3 и сопряженное ему число а являются корнями многочлена некоторой кратности . В таком случае для многочлена справедливо представление

— некоторый многочлен с вещественными коэффициентами, не имеющий в качестве корней числа а и а. Вставляя представление (8.44) в формулу (8.43), пслучим представление (8.41). Тот факт, что последняя дробь, стоящая в правой части (8.41), является правильной, вытекает из того, что эта дробь равна разности двух правильных дробей.

Лемма 2 доказала.

Последовательное применение лемм 1 и 2 к дроби по

всем корням знаменателя приводит нас к следующему замечательному утверждению.

Теорема 8.4. Пусть - правильная рациональная дробь с вещественными коэффициентами, знаменатель которой имеет вид

Тогда для этой дроби справедливо следующее разложение на сумму простейших дробей:

В этом разложении некоторые вещественные постоянные, часть из которых может быть равна нулю.

Замечание. Для конкретного определения только что указанных постоянных следует привести равенство (8.46) к общему знаменателю и после этого сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях х в числителе.

Примеры и разъяснения.

1°. Разложить на сумму простейших правильную дробь

Убедившись в том, что квадратный трехчлен имеет комплексные корни, ищем, согласно теореме 8.4, разложение дроби (8.47) в виде

Приводя равенство (8.48) к общему знаменателю, получим

Сравнивая в числителях коэффициенты при придем к системе уравнений

Решая эту систему, найдем Окончательно получим

Только что проиллюстрированный метод отыскания разложения правильной рациональной дроби называется методом неопределенных коэффициентов. Этот метод приводит к цели всегда; доказывать разрешимость полученной в результате применения этого метода системы уравнений не нужно — разрешимость вытекает из теоремы 8.4.

2°. Проиллюстрируем метод неопределенных коэффициентов еще одним примером. Требуется найти разложение правильной дроби

Так как квадратный трехчлен имеет комплексные корни, ищем, согласно теореме 8.4, разложение в виде

Последнее равенство приводим к общему знаменателю и после этого сопоставляем числители. Получим

Сравнивая коэффициенты при придем к системе уравнений

Решая эту систему, найдем Окончательно получим

3°. Метод неопределенных коэффициентов, как видно из рассмотренных примеров, является довольно громоздким. Естественно поэтому в тех случаях, когда это возможно, найти другой, более простой метод отыскания коэффициентов в разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших. Пусть знаменатель правильной рациональной дроби имеет вещественное число а корнем кратности а. Тогда среди простейших дробей, на сумму которых раскладывается дробь , будет фигурировать дробь

Укажем совсем простой метод вычисления коэффициента А при этой простейшей дроби. Привлекая лемму 1 и формулу (8.36), мы убедимся в том, что коэффициент А равен

Мы приходим к следующему правилу: для вычисления коэффициента А при простейшей дроби (8.51), соответствующей вещественному корню а многочлена кратности а, следует вычеркнуть в знаменателе дроби скобку и в оставшемся выражении положить

Указанный прием нахождения коэффициента А обычно называют методом вычеркивания. Отметим, что этот прием применим лишь для вычисления коэффициентов при старших степенях простейших дробей, соответствующих вещественным корням

Метод вычеркивания особенно эффективен в случае, когда знаменатель имеет лишь однократные вещественные корни, т. е. когда Тогда, как мы знаем, справедливо разложение

все коэффициенты которого могут быть вычислены по методу вычеркивания. Для вычисления коэффициента следует вычеркнуть в знаменателе дроби скобку и в оставшемся выражении положить

Пример. Найти разложение дроби

Согласно теореме 8.4 пишем:

Для отыскания вычеркиваем в выражении (8.52) скобку и в оставшемся выражении берем Получим Аналогично находим

Окончательно получим