4. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.
Рациональной дробью называется отношение двух алгебраических многочленов.
Всюду в дальнейшем мы будем рассматривать рациональную дробь, являющуюся отношением двух алгебраических многочленов с вещественными коэффициентами (такую дробь принято называть рациональной дробью с вещественными коэффициентами).
Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена
стоящего в числителе, меньше степени многочлена
стоящего в знаменателе.
В противном случае рациональная дробь называется неправильной.
Докажем две вспомогательные теоремы.
Лемма 1. Пусть
- правильная рациональная дробь с вещественными коэффициентами, знаменатель
которой имеет вещественное число а корнем кратности а, т. е.
Тогда для этой дроби справедливо следующее представление:
В этом представлении А — вещественная постоянная, равная:
— целое число, удовлетворяющее условию
— некоторый многочлен с вещественными коэффициентами такой, что последняя дробь в правой части (8.36) является правильной.
Доказательство. Обозначив через А — вещественное
число
рассмотрим разность
Приводя эту разность к общему знаменателю, будем иметь
где через
обозначен многочлен с вещественными коэффициентами вида
Так как
вещественное число а является корнем многочлена
некоторой кратности
Это означает, что справедливо представление
— некоторый многочлен с вещественными коэффициентами.
Вставляя представление (8.38) в равенство (8.37), окончательно будем иметь
Тем самым представление (8.36) доказано. Остается только убедиться в том, что дробь, стоящая в правой части (8.39), является правильной, но это сразу вытекает из того, что разность двух правильных рациональных дробей является правильной рациональной дробью (чтобы убедиться в этом, достаточно привести разность правильных рациональных дробей к общему знаменателю). Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Пусть
- правильная рациональная дробь с вещественными коэффициентами, знаменатель которой
имеет комплексные числа
корнями кратности
, т. е.
Тогда для этой дроби справедливо следующее представление:
В этом представлении М и
— некоторые вещественные постоянные,
— целое число
— некоторый многочлен с. вещественными коэффициентами такой, что последняя дробь в правой части (8.41) является правильной.
Доказательство. Договоримся обозначать вещественную часть комплексной величины А символом
мнимую часть комплексной величины А символом
Положим
Нетрудно проверить, что указанные М и
являются решением следующего уравнения:
В самом деле, поделив это уравнение на
и приравняв нулю действительные и мнимые части, мы получим два равенства
из которых определяются написанные выше М к
Рассмотрим теперь разность
Приводя указанную разность к общему знаменателю, будем иметь
Здесь через
обозначен многочлен с вещественными коэффициентами вида
Равенство (8.42) позволяет утверждать, что комплексное число а, а значит, в силу теоремы 8.3 и сопряженное ему число а являются корнями многочлена
некоторой кратности
. В таком случае для многочлена
справедливо представление
— некоторый многочлен с вещественными коэффициентами, не имеющий в качестве корней числа а и а. Вставляя представление (8.44) в формулу (8.43), пслучим представление (8.41). Тот факт, что последняя дробь, стоящая в правой части (8.41), является правильной, вытекает из того, что эта дробь равна разности двух правильных дробей.
Лемма 2 доказала.
Последовательное применение лемм 1 и 2 к дроби
по
всем корням знаменателя приводит нас к следующему замечательному утверждению.
Теорема 8.4. Пусть
- правильная рациональная дробь с вещественными коэффициентами, знаменатель которой имеет вид
Тогда для этой дроби справедливо следующее разложение на сумму простейших дробей:
В этом разложении
некоторые вещественные постоянные, часть из которых может быть равна нулю.
Замечание. Для конкретного определения только что указанных постоянных следует привести равенство (8.46) к общему знаменателю и после этого сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях х в числителе.
Примеры и разъяснения.
1°. Разложить на сумму простейших правильную дробь
Убедившись в том, что квадратный трехчлен
имеет комплексные корни, ищем, согласно теореме 8.4, разложение дроби (8.47) в виде
Приводя равенство (8.48) к общему знаменателю, получим
Сравнивая в числителях коэффициенты при
придем к системе уравнений
Решая эту систему, найдем
Окончательно получим
Только что проиллюстрированный метод отыскания разложения правильной рациональной дроби называется методом неопределенных коэффициентов. Этот метод приводит к цели всегда; доказывать разрешимость полученной в результате применения этого метода системы уравнений не нужно — разрешимость вытекает из теоремы 8.4.
2°. Проиллюстрируем метод неопределенных коэффициентов еще одним примером. Требуется найти разложение правильной дроби
Так как квадратный трехчлен
имеет комплексные корни, ищем, согласно теореме 8.4, разложение в виде
Последнее равенство приводим к общему знаменателю и после этого сопоставляем числители. Получим
Сравнивая коэффициенты при
придем к системе уравнений
Решая эту систему, найдем
Окончательно получим
3°. Метод неопределенных коэффициентов, как видно из рассмотренных примеров, является довольно громоздким. Естественно поэтому в тех случаях, когда это возможно, найти другой, более простой метод отыскания коэффициентов в разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших. Пусть знаменатель
правильной рациональной дроби
имеет вещественное число а корнем кратности а. Тогда среди простейших дробей, на сумму которых раскладывается дробь
, будет фигурировать дробь
Укажем совсем простой метод вычисления коэффициента А при этой простейшей дроби. Привлекая лемму 1 и формулу (8.36), мы убедимся в том, что коэффициент А равен
Мы приходим к следующему правилу: для вычисления коэффициента А при простейшей дроби (8.51), соответствующей вещественному корню а многочлена
кратности а, следует вычеркнуть в знаменателе дроби
скобку
и в оставшемся выражении положить
Указанный прием нахождения коэффициента А обычно называют методом вычеркивания. Отметим, что этот прием применим лишь для вычисления коэффициентов при старших степенях простейших дробей, соответствующих вещественным корням
Метод вычеркивания особенно эффективен в случае, когда знаменатель
имеет лишь однократные вещественные корни, т. е. когда
Тогда, как мы знаем, справедливо разложение
все коэффициенты которого могут быть вычислены по методу вычеркивания. Для вычисления коэффициента
следует вычеркнуть в знаменателе дроби
скобку
и в оставшемся выражении положить
Пример. Найти разложение дроби
Согласно теореме 8.4 пишем:
Для отыскания
вычеркиваем в выражении (8.52) скобку
и в оставшемся выражении берем
Получим
Аналогично находим
Окончательно получим