2. Раскрытие неопределенности вида oo/oo

Будем говорить, что отношение двух определенных в окрестности точки а функций представляет собой при неопределенность вида если

Для раскрытия этой неопределенности, т. е. для вычисления предела справедливо утверждение, полностью аналогичное теореме 6.9.

Теорема 6.9 (второе правило Лопиталя). Пусть множество представляет собой проколотую -окрестность точки а, функции определены и дифференцируемы на и, кроме того, производная не обращается на в нуль. Пусть далее,

Тогда, если существует (конечный или бесконечный) предел

то существует и предел

причем справедливо соотношение

Доказательство. 1) Предположим Чсначала, что существует конечный предел (6.18, равный числу Докажем, что в этом случае существует предел (6.19, также равный числу

Пусть — произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к а либо справа, либо слева. Так как все элементы этой последовательности принадлежат множеству то, каковы бы ни были два элемента этой последовательности для функций выполнены на сегменте все условия теоремы Коши 6.8. По этой теореме между найдется точка такая, что справедливо равенство

Из этого равенства заключаем, что

Фиксируем теперь произвольное положительное число е. Так как по условию а последовательность сходится к а, то для положительного числа — можно фиксировать такой номер что для любого номера превосходящего будет выполняться условие

Далее заметим, что в силу условий (6.17 , а поэтому, поскольку номер фиксирован, существует равный единице предел

Это означает, что для положительного числа и для фиксированного нами номера найдется превосходящий его номер такой, что при всех

Из соотношений (6.26), (6.27) и (6.28) вытекает, что

Значит, справедливо неравенство

Учитывая неравенства, стоящие в условиях (6.27) и (6.28), мы получим, что при всех

Итак, для произвольного фиксированного нами мы нашли номер такой, что при всех

Это и означает, что предел (6.19 равен числу b и справедливо соотношение (6.20. Таким образом, для случая конечного предела (6.18 теорема доказана.

2) Пусть теперь предел (6.18 равен . Тогда, очевидно, предел обратного отношения будет равен нулю и по только что рассмотренному нами случаю конечного предела (6.18 мы получим, что

Последнее соотношение с учетом (6.17 эквивалентно тому, что

Теорема 6.9 полностью доказана.

Так же как и теорема 6.9, теорема 6.9 остается справедливой, в каждом из следующих трех случаев:

1) в случае, если в этой теореме в качестве множества взять интервал [соответственно а все пределы (6.17 — (6.20 взять при [соответственно при

2) в случае, если в качестве множества взять совокупность всех х, лежащих вне сегмента а все пределы (6.17 — (6.20 взять при

3) в случае, если в качестве множества взять полупрямую» [соответственно а все пределы (6.17) — (6.20) взять при [соответственно при ].

Обоснование справедливости теоремы 6.9 в этих трех случаях может быть заимствовано из предыдущего пункта.

Примеры. 1)

2) -кратным применением правила Лопиталя вычисляется предел