§ 6. ГЛОБАЛЬНЫЕ МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ НА СЕГМЕНТЕ. КРАЕВОЙ ЭКСТРЕМУМ

1. Отыскание максимального и минимального значений функции, определенной на сегменте.

Рассмотрим функцию определенную на сегменте и непрерывную на нем. До сих пор мы занимались лишь отысканием локальных максимумов и минимумов функции. Теперь поставим задачу об отыскании глобальных максимумов и минимумов или, по-другому, об отыскании максимального и минимального значений на сегменте Подчеркнем, что в силу теоремы Вейерштрасса (см. теорему 4.15 из гл. 4) непрерывная функция обязательно достигает в некоторой точке сегмента своего максимального (минимального) значения. Ради определенности остановимся на отыскании максимального значения на сегменте

Рис. 7.17

Рис. 7.18

Максимальное значение функции может достигаться либо во внутренней точке сегмента (тогда оно совпадает с одним из локальных максимумов функции (рис. 7.17), либо на одном из концов сегмедта (рис. 7.18). Отсюда ясно, что для нахождения максимального значения функции на сегменте нужно сравнить между собой значения во всех

точках локального максимума и в граничных точках сегмента а и Наибольшее из этих значений и будет максимальным значением на сегменте Аналогично находится и минимальное значение на сегменте

Если желательно избежать исследования стационарных точек, то можно просто сравнить между собой значения во всех стационарных точках и в граничных точках а и . Наибольшее (наименьшее) из этих значений, очевидно, и будет максимальным (минимальным) значением функции на сегменте

Отметим далее, что если имеет на сегменте лишь одну точку локального максимума (или лишь одну точку локального минимума), то без сравнения значения в этой точке с можно утверждать, что это значение является максимальным (минимальным) значением на- сегменте (рис. 7.19).

Рис. 7.19

Рис. 7.20

Аналогичными средствами решается вопрос об отыскании максимального (минимального) значения функции на интервале, полупрямой и бесконечной прямой (при условии, что это значение существует).

Может случиться так, что дифференцируемая функция вовсе не имеет на сегменте (или полупрямой стационарных точек.

В таком случае является монотонной на. этом сегменте (полупрямой) и ее максимальное и минимальное значения достигаются на концах этого сегмента (на конце этой полупрямой).

В качестве примера рассмотрим задачу об отыскании максимального и минимального значений функции на сегменте .

Поскольку указанная функция имеет на рассматриваемом сегменте три стационарные точки: . Сравнивая значения функции в указанных точках и на концах сегмента

убедимся в том, что максимальное значение рассматриваемой функции равно и достигается в двух внутренних точках сегмента: а минимальное значение рассматриваемой функции равно и достигается на правом конце сегмента

График рассматриваемой функции изображен на рис. 7.20.