5. Третье достаточное условие перегиба.
Установим еще одно достаточное условие перегиба, пригодное для случая, когда в данной точке с обращаются в нуль как вторая, так и третья производные рассматриваемой функции.
Аналогом теоремы 7.3 является следующее утверждение.
Теорема 7.10. Пусть 
некоторое четное число, и пусть функция 
имеет производную порядка 
в некоторой окрестности точки с и производную порядка 
в самой 
Тогда, если выполнены соотношения
то график функции 
имеет перегиб в точке 
Доказательство. При 
теорема 7.10 совпадает с уже доказанной выше теоремой 7.9, так что нужно вести доказательство лишь для четного 
Пусть четное число 
удовлетворяет условию 
и пусть 
. Тогда, в силу теоремы 6.1 о достаточном условии возрастания или убывания функции в точке, функция 
либо убывает в точке с (при 
либо возрастает в этой точке (при 
Поскольку, кроме того, 
то и в, том, и в другом случае всюду в достаточно малой окрестности точки с функция 
имеет разные знаки справа и слева от с.
Заметив это, разложим функцию 
в окрестности точки с по формуле Тейлора, записав остаточный член в форме Лагранжа (см. § 7 и 8 гл. 6). Мы получим, что для всех х из достаточно малой окрестности точки с между х и с найдется точка 
таская, что
имеет разные знаки справа и слева от с. Так как 
лежит между х и с, то для всех х из достаточно малой окрестности точки с величина 
(а значит, в силу четности 
и вся правая часть (7.4) имеет разные знаки справа и слева от с. Итак, в силу равенства (7.4 для всех х из достаточно малой окрестности точки с производная 
имеет разные знаки справа и слева от с. В силу теоремы 7.8 график функции 
имеет перегиб в точке 
Теорема доказана.
в теореме 7.10 (сравните эту теорему с теоремой 7.3). Рис. 7.12 и 7.13 иллюстрируют исследование на экстремум и перегиб графика функции 
при нечетном 
а ее график имеет лерегиб в точке 
при четном 
(проверьте это сами).