§ 3. ФОРМУЛА КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ (ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА)

Большое значение в анализе и его приложениях имеет следующая теорема, принадлежащая Лагранжу.

Теорема 6.4 (теорема Лагранжа). Если фунщия непрерывна на сегменте и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента, то внутри сегмента найдется точка такая, что справедлива формула

Формулу (6.1) называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

Доказательство. Рассмотрим на сегменте следующую вспомогательную функцию

Проверим, что для функции выполнены все условия теоремы Ролля. В самом деле, непрерывна на сегменте (как разность функции и линейной функции) и во всех внутренних точках сегмента имеет производную, равную

Из формулы (6.2) очевидно, что

Согласно теореме Ролля внутри сегмента найдется точка такая, что

Из равенства (6.3) вытекает формула Лагранжа (6.1). Подчеркнем, что в формуле (6.1) вовсе не обязательно считать, что эта формула верна и при

Замечание. Мы получили теорему Лагранжа как следствие теоремы Ролля. Заметим вместе с тем, что сама теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа (при Для выяснения геометрического смысла теоремы Лагранжа заметим, что величина есть угловой коэффициент секущей, проходящей через точки кривой есть угловой коэффициент касательной к кривой проходящей через точку Формула Лагранжа (6.1) означает, что на кривой между точками А и В найдется такая точка С, касательная в которой параллельна секущей (рис. 6.5).

Рис. 6.5

Часто бывает удобно записывать формулу Лагранжа в виде, несколько отличном от (6.1). Пусть удовлетворяет условиям теоремы 6.4. Зафиксируем любое из сегмента и зададим ему приращение произвольное, но такое, чтобы значение также лежало на сегменте Тогда, записывая формулу Лагранжа для сегмента, ограниченного точками будем иметь

где некоторая точка, лежащая между Можно утверждать, что найдется такое (зависящее от число 0 из интервала что

Таким образом, формуле (6.4) можно придать вид

где 0 — некоторое число из интервала Формула Лагранжа в виде (6.5) дает точное выражение для приращения функции через вызвавшее его произвольное конечное приращение аргумента. Этот вид формулы Лагранжа оправдывает термин «формула конечных приращений».