7. Инвариантность формы первого дифференциала.

В п. 5 мы ввели понятие первого дифференциала функции нескольких переменных и установили, что когда аргументы являются независимыми переменными, то дифференциал можно представить в виде

В этом пункте мы докажем, что формула (12.20) является универсальной и справедлива и в том случае, когда аргументы сами являются дифференцируемыми функциями некоторых новых переменных которые мы можем считать независимыми. Указанное свойство первою дифференциала обычно называют свойством инвариантности его формы.

Итак, пусть аргументы функции представляют собой дифференцируемые в точке функции а сама функция дифференцируема в точке где . В таком случае мы можем рассматривать и как сложную функцию независимых переменных которая в силу теоремы 12.11 является дифференцируемой в точке А. Поэтому дифференциал этой сложной функции можно представить в виде

где определяются из соотношений (12.22). Подставляя

из (12.22) в (12.33) и собирая коэффициенты при получим

Остается заметить, что в последнем соотношении коэффициент при равен дифференциалу функции

Мы получим для дифференциала сложной функции формулу (12.20), в которой дифференциалы будут дифференциалами функций Инвариантность формы первого дифференциала установлена.

Свойство инвариантности формы первого дифференциала позволяет установить следующие правила дифференцирования. Пусть — дифференцируемые функции каких-либо переменных. Тогда

Докажем, например, справедливость третьей из указанных формул. Рассмотрим функцию двух переменных и и Дифференциал этой функции равен

Так как . В силу инвариантности формы первого дифференциала выражение будет дифференциалом функции и в случае, когда и сами являются дифференцируемыми функциями каких-либо переменных.