2. Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности.

Справедливо следующее фундаментальное утверждение.

Основная теорема 3.15. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится.

Доказательство. Рассмотрим случай неубывающей и ограниченной сверху последовательности Множество всех элементов такой последовательности ограничено сверху, а потому по основной теореме 2.1 гл. 2 у этого множества существует точная верхняя грань, которую мы обозначим символом х. Докажем, что это число х и является пределом последовательности Во-первых, заметим, что по определению верхней грани любой элемент х последовательности удовлетворяет неравенству

Далее фиксируем произвольное положительное число и заметим, что по определению точной верхней грани найдется хотя бы один элемент последовательности удовлетворяющий неравенству

Учтем теперь, что последовательность является неубывающей и вследствие этого для всех номеров , удовлетворяющих неравенству Сопоставляя неравенство с неравенством (3.32), мы получим, что для всех

Объединяя неравенства (3.31) и (3.33), мы получим, что для всех справедливы неравенства

Следовательно, для всех справедливо неравенство которое и доказывает, что последовательность сходится к пределу

Если последовательность является невозрастающей и ограничена снизу, то совершенно аналогично доказывается, что она сходится к пределу Теорема доказана.

Замечание 1. Теорему 3.15 можно сформулировать в другом виде. Во-первых, заметим, что в силу сказанного в последовательность удовлетворяющая условию теоремы 3.15, является ограниченной с обеих сторон, или просто ограниченной. Поэтому теорему 3.15 можно переформулировать так: для того чтобы монотонная последовательность сходилась, достаточно, чтобы она была ограничена.

Легко убедиться в том, что эта формулировка может быть заменена более «сильной»: для того чтобы монотонная последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена (необходимость вытекает из теоремы 3.8).

Замечание 2. Конечно, не всякая сходящаяся последовательность является монотонной. Например, заведомо сходящаяся к нулю последовательность не является монотонной, так как знаки ее элементов чередуются.

Замечание 3. Из приведенного выше доказательства теоремы 3.15 вытекает, что все элементы неубывающей, ограниченной сверху последовательности не больше ее предела Аналогично легко убедиться в том, что все элементы невозрастающей, ограниченной снизу последовательности не меньше ее предела х.

Извлечем важное следствие из теоремы 3.15.

Договоримся называть бесконечную последовательность сегментов стягивающейся системой сегментов, если выполнены два требования: 1) каждый следующий сегмент содержится в предыдущем, т. е. для любого длина сегмента т. е. разность , стремится к нулю при

Следствие из теоремы 3.15. У всякой стягивающейся системы сегментов существует и притом единственная точка с, принадлежащая всем сегментам этой системы.

Доказательство. Прежде всего заметим, что точка с, принадлежащая всем сегментам, может быть только одна. В самом деле, если бы нашлась еще одна точка отличная от с и принадлежащая всем сегментам, то, предположив ради определенности, что мы получили бы, что сегмент принадлежит всем сегментам Но тогда для любого номера выполнялись бы неравенства что невозможно в силу того, что при .

Докажем теперь, что существует точка с, принадлежащая всем сегментам. Так как система сегментов является стягивающейся, то последовательность левых концов не убывает, а последовательность правых концов не возрастает. Поскольку обе эти последовательности ограничены (все их элементы находятся на сегменте то обе они сходятся (в силу теоремы 3.15). Из того, что разность является бесконечно малой, вытекает, что эти две последовательности сходятся к общему пределу, который мы обозначим через с. В силу замечания 3 для любого номера справедливы неравенства т. е. с принадлежит всем сегментам Следствие доказано.

3. Число е. Применим теорему 3.15 для доказательства сходимости последовательности элемент которой определяется равенством

В силу теоремы 3.15 достаточно доказать, что эта последовательность 1) является возрастающей; 2) ограничена сверху.

Применяя формулу бинома Ньютона, получим для следующее выражение:

Это выражение перепишем в следующем виде:

Для следующего элемента последовательности в полной аналогии с (3.34) получится следующее выражение:

Для того чтобы убедиться в том, что последовательность является возрастающей, сравним между собой выражения (3.34) и (3.35). Во-первых, заметим, что правая часть (3.34) состоит из слагаемых, а правая часть (3.35) — из слагаемых, причем последнее слагаемое в правой части (3.35) является строго положительным.

Сопоставим теперь между собой любое из остальных слагаемых в правой части (3.35) с соответствующим слагаемым в правой части (3.34). Легко видеть, что для любого номера равного справедливо неравенство

Это последнее неравенство означает, что слагаемое в правой части (3.34) меньше соответствующего слагаемого в правой части (3.35).

Итак, мы доказали, что т. е. последовательность является возрастающей.

Докажем теперь, что эта последовательность ограничена сверху. Заметим, что если каждую круглую скобку в правой части (3.34) заменить единицей, то указанная правая часть возрастет. Поэтому

Заметим далее, что для любого номера справедливо неравенство

Поэтому неравенство (3.36) дает право утверждать, что

(Мы воспользовались формулой для суммы членов геометрической прогрессии.) Неравенство (3.37) доказывает ограниченность последовательности

По основной теореме 3.15 последовательность имеет предел, который, следуя Л. Эйлеру, мы обозначим через .

Убедимся в том, что число удовлетворяет неравенствам . Для этого (в силу следствия 2 из теоремы 3.13) достаточно доказать, что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенствам

Неравенство вытекает из (3.37), а неравенство вытекает из (3.34), если отбросить в (3.34) все члены, кроме первого.

В дальнейшем выяснится, что число играет важную роль в математике, и будет указан способ вычисления этого числа с любой степенью точности.