2. Метод прямоугольников.

Будем считать, что функция интеграл от которой нам требуется приближенно вычислить, имеет на рассматриваемом сегменте непрерывную вторую производную.

Начнем с рассмотрения интеграла в симметричных пределах Для вычисления этого интеграла будем исходить из формул (11.15) и (11.16), в которых положим Тогда, очевидно, и правая часть (11.15) равна Таким образом,

где символом обозначен остаточный член (т. е. отклонение числа от точного значения интеграла). Для того чтобы оценить величину остаточного члена обозначим через первообразную функции Поскольку в силу формулы Ньютона—Лейбница то

Разложим по формуле Маклорена функцию Беря остаточный член в форме Лагранжа и обозначая через I возникающее при этом промежуточное значение аргумента из интервала (0, с), будем иметь

Подсчитаем входящие в эту формулу значения Имеем

(В последнем равенстве мы воспользовались формулой (11.14) при и обозначили через некоторую точку из интервала на котором по предположению непрерывна функция

Вставляя вычисленные значения в формулу (11.19), будем иметь

Сопоставляя последнюю формулу с формулой (11.18), окончательно получим

Из полученной оценки остаточного члена видно, что формула (11.17) тем точнее, чем меньше величина Поэтому для вычисления интеграла удобно разбить сегмент на: достаточно большое число частей и к каждой из этих частей применить формулу приближенного интегрирования (11.17). Считая, что функция имеет на сегменте непрерывную вторую производную, разобьем этот сегмент на равных частей, при помощи точек Обозначим через среднюю точку сегмента Тогда

где

(Здесь мы воспользовались для формулой усреднения (11.14) при и обозначили через некоторое промежуточное значение аргумента из интервала

Формула (11.22) называется формулой прямоугольников.

Рис. 11.14

Рис. 11.15

Ее геометрический смысл ясен из рис. 11.14: площадь криволинейной трапеции, лежащей под графиком на сегменте приближенно заменяется суммой площадей, указанных на этом чертеже прямоугольников.