2. Глобальные свойства непрерывных функций.

Теорема 4.12 (прохождение непрерывной функции через нуль при смене знаков). Пусть функция непрерывна на сегменте и пусть значения этой функции на концах сегмента суть числа разных знаков. Тогда внутри сегмента найдется такая точка , значение функции в которой равно нулю.

Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что Пусть — множество всех значений х из сегмента для которых Это множество непусто (ему, например, принадлежит точка и ограничено сверху (например, числом

Согласно теореме 2.1 у множества существует точная верхняя грань, которую мы обозначим через ?.

Заметим, что точка — внутренняя точка сегмента так как из непрерывности функции на и из условий в силу теоремы 4.11, вытекает, что найдется правая -полуокрестность точки а, в пределах которой и левая -полуокрестность точки в пределах которой

Убедимся в том, что Если бы это было не так, то по теореме нашлась бы -окрестность точки , в пределах которой функция имела бы определенный знак. Но это невозможно, так как по определению точной верхней грани найдется хотя бы одно значение х из полусегмента такое, что а для любого значения х из интервала справедливо неравенство Полученное противоречие доказывает, что Теорема доказана. Иллюстрацией к теореме 4.12 может служить рис. 4.24.

Теорема 4.13 (прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение).

Рис. 4.24

Рис. 4.25

Пусть функция непрерывна на сегменте причем Пусть, далее, у — любое число, заключенное между Тогда на сегменте найдется точка такая, что

Доказательство. В доказательстве нуждается, очевидно, лишь случай (в противном случае и можно взять . По этой же причине отпадает случай, когда у совпадает с одним из чисел или .

Не ограничивая общности, будем считать, что Рассмотрим функцию Эта функция непрерывна на сегменте (как разность непрерывных функций) и принимает на концах этого сегмента значения разных знаков:

По теореме 4.12 внутри сегмента найдется точка такая, что Теорема доказана.

Используя только что доказанную теорему, мы убедимся в справедливости замечания 2, высказанного в п. 2 § 2.

Пусть функция непрерывна на сегменте существует функция, обратная для рассматриваемой на этом сегменте. Тогда строго монотонна на указаннои сегменте

Доказательство. Из существования обратной функции для следует, что Пусть Покажем, что строго монотонно возрастает [убывает] на сегменте Рассмотрим случай (Если то рассуждения аналогичны.) Предварительно установим справедливость неравенства для всех х из Действительно, пусть существует такое что (Равенство невозможно ввиду существования обратной функции для функции Применяя теорему 4.13 для сегментов и используя вытекающие из неравенства

убедимся в существовании двух таких чисел что противоречит существованию обратной функции для функции на сегменте .

Установим теперь строго монотонное возрастание на сегменте . Пусть существуют два числа принадлежащие полусегменту , такие, что Покажем, что это предположение приводит нас к противоречию. Применяя теорему 4.13 для сегментов и используя вытекающие из неравенства

убедимся в существовании двух таких чисел , что Итак, но что также противоречит существованию обратной функции для функции на сегменте . Замечая, что условие для также невозможно, мы приходим к выводу, что для любых из сегмента . Замечание доказано.

Теорема 4.14 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на сегменте , то она ограничена на этом сегменте.

Доказательство. Докажем, что функция ограничена на сегменте сверху (ограниченность снизу доказывается аналогично).

Доказательство проведем от противного, т. е. предположим, что не является ограниченной сверху на сегменте . Тогда для любого натурального найдется хотя бы одна точка из такая, что (В противном случае f(x) была бы ограничена сверху на сегменте )

Таким образом, мы указали последовательность значений из сегмента такую, что соответствующая последовательность значений функции является бесконечно большой. В силу теоремы Больцано—Вейерштрасса (см. следствие 3 из теоремы 3.16 п. 1 § 3 гл. 3) из последовательности можно выделить подпоследовательность сходящуюся к некоторой точке . Так как все элементы подпоследовательности лежат на сегменте , то и точка принадлежит

сегменту силу следствия 2 из теоремы 3.13). В силу непрерывности функции в точке соответствующая подпоследовательность значений функции обязана сходиться к Но это противоречит тому, что подпоследовательность будучи выделена из бесконечно большой последовательности сама является бесконечно большой. Полученное противоречие доказывает теорему.

Замечание 1. Для интервала (или полусегмента) утверждение, высказанное в теореме 4.14, уже несправедливо, т. е. из непрерывности функции на интервале (или полусегменте) не вытекает ее ограниченность на этом множестве. Рассмотрим, например, функцию на интервале (0,1) (или на полусегменте (0,1]). Эта функция непрерывна на указанном множестве, но неограниченна на нем. В самом деле, последовательность принадлежит указанному множеству, а последовательность значений функции является бесконечно большой.

Рассмотрим функцию ограниченную на данном множестве сверху (снизу).

Определение. Число М (число называется точной верхней (точной нижней) гранью функции на множестве если выполнены два требования: 1) для каждого значения х из множества справедливо неравенство для любого числа существует такое значение х из множества что для соответствующего значения функции справедливо неравенство

Заметим, что в данном определении условие 1) означает, что число М (число является одной из верхних (нижних) граней функции на множестве а условие 2) означает, что эта грань является наименьшей (наибольшей) и уменьшена (увеличена) быть не может.

Точная верхняя грань М функции на множестве обычно обозначается символом

Аналогично точная нижняя грань функции на множестве обозначается символом.

В частности, точная верхняя грань функции на сегменте может обозначаться любым из следующих четырех символов:

Аналогичные четыре символа для точной нижней грани имеют вид

Справедливы следующие утверждения:

1) если функция ограничена на множестве сверху [снизу], то у нее существует на этом множестве точная верхняя грань [точная нижняя грань];

2) если функция ограничена на множестве (с обеих сторон), то у нее существуют на этом множестве как точная верхняя, так и точная нижняя грани.

Эти утверждения являются прямым следствием теоремы 2.1 гл. 2, ибо ограниченность функции на множестве сверху [снизу] означает, что множество всех значений этой функций ограничено сверху [снизу].

Возникает вопрос о том, является ли точная верхняя [точная нижняя] грань ограниченной на множестве функции достижимой, т. е. существует ли среди точек множества такая точка значение функции в которой равно точной верхней [соответственно точной нижней] грани на множестве

Следующий пример показывает, что точные грани ограниченной на данном множестве функции, вообще говоря, не являются достижимыми.

Рассмотрим на сегменте [0, 1] функцию следующего вида (рис. 4.25):

Эта функция ограничена на сегменте [0, 1] и имеет на нем точную верхнюю грань и точную нижнюю грань Однако эти грани недостижимы: среди точек сегмента [0, 1] не существует точек, значения функции в которых были бы равны нулю или единице.

Заметим, что рассматриваемая функция не является непрерывной на сегменте [0, 1] (она имеет разрывы в Точках Оказывается, это обстоятельство не является случайным, ибо справедливо следующее утверждение.

Теорема 4.15 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на сегменте то она достигает на этом сегменте своих точных верхней и нижней граней, т. е. среди точек сегмента найдутся такие точки что значение равно точной верхней грани на сегменте

а значение равно точной нижней грани на сегменте

Доказательство. В силу первой теоремы Вейерштрасса 4.14 функции ограничена на сегменте а поэтому у нее существует на этом сегменте точная верхняя грань М и точная нижняя грань т.

Остановимсй на доказательстве достижимости точной верхней грани М, ибо достижимость точной нижней грани доказывается аналогично.

Предположим, что точная верхняя грань М не является достижимой, т. е. предположим, что во всех точках сегмента функция принимает значения, строго меньшие М. Тогда мы можем рассмотреть функцию

Знаменатель представляет собой функцию, непрерывную и строго положительную на сегменте Поэтому по теореме 4.1 (для случая частногр) функция будет являться непрерывной на сегменте Значит, по первой теореме Вейерштрасса 4.14 функция ограничена на сегменте т. е. найдется положительное число А такое, что для всех х из сегмента Так как функция строго положительна на то последнее неравенство эквивалентно неравенству для всех х из сегмента а это противоречит тому, что число М является точной верхней гранью, т. е. наименьшей из всех верхних граней функции на сегменте

Полученное противоречие доказывает, что наше предположение о недостижимости точной верхней грани является неверным. Теорема доказана.

Замечание 2. После того как доказана достижимость непрерывной на сегменте функцией своих точных верхней и нижней граней, мы можем назвать точную верхнюю грань М максимальным значением, а точную нижнюю грань минимальным значением функции на сегменте Теорему 4.15 можно переформулировать в виде: непрерывная на сегменте функция имеет на этом сегменте максимальное и минимальное значения.

Максимальное значение функции на сегменте обозначается одним из следующих символов:

Аналогичные символы для минимального значения на сегменте имеют вид

Замечание 3. Заметим, что и функции, не являющиеся непрерывными на данном сегменте, могут достигать на этом сегменте своих точной верхней и точной нижней граней. Примером может служить функция Дирихле равная нулю для всех иррациональных х и равная единице для всех рациональных х. Эта функция разрывна в каждой точке сегмента [0, 1], но, очевидно, достигает на этом сегменте своей точной верхней грани, равной единице, и своей точной нижней грани, равной нулю.

Замечание 4. Утверждение теоремы 4.15 окажется неверным, если в ее формулировке термин «сегмент» заменить термином «интервал» или «полусегмент».

Так, функция является непрерывной на интервале или на полусегменте [0, 1), однако точная верхняя грань этой функции на указанном интервале или полусегменте хотя и существует, но не достигается.

К этому следует добавить, что у функции, являющейся непрерывной на интервале или полусегменте, точные грани могут даже не существовать, ибо такая функция может не являться ограниченной на указанном интервале или полусегменте (см. замечание 1).