ДОПОЛНЕНИЕ 2. Метрические, нормированные пространства

В этом дополнении будут изложены важные понятия и факты общей топологии, которые часто употребляются в различных разделах математики. Читатель без труда обнаружит, что эти понятия и факты являются естественным обобщением ряда определений и утверждений, содержащихся в предыдущих главах.

Метрические пространства

1. Определение метрического пространства. Примеры.

Выше мы уже подчеркивали, что фундаментальную роль в анализе играет понятие предела. В основе этого понятия лежит определение расстояния между числами, т. е. абсолютная величина разности этих чисел. Поэтому представляется естественным ввести понятие расстояния уже не между двумя числами, а между двумя произвольными элементами некоторого абстрактного множества X. Ясно, что при этом это расстояние должно обобщать свойства расстояния между числами числовой оси. В связи с вышесказанным дадим следующее определение.

Определение 1 На множестве X определена структура метрического пространства, если задана функция двух произвольных элементов этого множества удовлетворяющая аксиомам:

тогда и только тогда, когда

2) (аксиома симметрии),

3) (неравенство треугольника).

Функция называется метрикой или функцией расстояния, число называется расстоянием между точками х и у множества X.

Таким образом, метрическое пространство образуют множество X и функция расстояния . Поэтому обозначается метрическое пространство обычно так: (X, р) или просто X, если ясно, о какой метрике идет речь.

Если в аксиоме 3) положить то, учитывая 1), получается, что , т. е. функция расстояния — неотрицательная функция своих аргументов.

Приведем примеры наиболее часто встречающихся метрических пространств.

Примеры.

1) Множество вещественных чисел превращается в метрическое пространство, если для любых чисел положить Это метрическое пространство обычно обозначается

2) Координатное -мерное пространство точки которого (или элементы множества упорядоченные наборы чисел, превращается в метрическое пространство, если положить где обозначается оно через . Аксиомы 1) и 2) определения метрического пространства, как легко видеть, выполняются. Справедливость аксиомы 3) вытекает из неравенства Коши — Буняковского для сумм (см. § 5 гл. 9):

Таким образом, и неравенство треугольника в этом случае установлено. Заметим, что выше мы применили неравенство Коши—Буняковского к сумме где положено

На множестве X, элементами которого являются упорядоченные наборы чисел можно вводить и другие функции расстояния, например положить, что:

где функция введена выше, в примере 2); или положить

где функция определяется, как указано выше.

Естественно, что при этом одно и то же множество X превращается в разные метрические пространства где .

3) Пусть У — множество непрерывных функций, заданных на сегменте Введем метрику, полагая Получившееся пространство представляет собой метрическое пространство. Оно обозначается через

Точно так же множество раз непрерывно дифференцируемых функций на сегменте становится метрическим пространством, если ввести метрику по правилу:

где Это пространство обозначается обычно так:

Пространство иногда обозначается символом

4) Пусть V — множество всех ограниченных последовательностей действительных чисел. Положим Справедливость аксиом метрического пространства очевидна. Это пространство обозначается через ).

Заметим, что каждое подмножество метрического пространства , в свою очередь, является метрическим пространством с той же самой функцией расстояния . Действительно, если аксиомы, определяющие метрику , выполнены для любых то они выполнены и для принадлежащих Таким образом, каждое подмножество — метрическое пространство с функцией Точно так же любое подмножество — метрическое пространство,

Пара называется подпространством пространства (X, р).

Заметим также, что если — функция расстояния некотором метрическом пространстве, то по формулам а) или примера 2) мы можем получить новую функцию расстояния.