§ 3. Главное значение несобственного интеграла

Определение. Пусть функция определена на прямой и интегрируема на каждом сегменте, принадлежащем этой прямой. Будем говорить, что функция интегрируема по Коши, если существует предел

Этот предел мы будем называть главным значением несобственного интеграла от функции (в смысле Коши) и обозначать символом

Пример 1. Найдем главное значение интеграла от функции? х. Поскольку в силу нечетности х,

Точно так же заключаем, что

Справедливо следующее

Утверждение. Пусть функция интегрируема на каждом сегменте прямой Если эта функция нечетна, то она интегрируема по Коши и главное значение интеграла от нее равняется нулю.

Если функция четна, то она интегрируема по Коши тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл

Первая часть этого утверждения является очевидной. Для доказательства второй части достаточно воспользоваться равенством справедливым для любой четной функции, и определением сходимости несобственного интеграла (9.1.17).

Понятие интегрируемости по Коши можно ввести и для несобственных интегралов второго рода в случае, когда особая точка, является внутренней точкой сегмента, по которому производится: интегрирование.

Определение. Пусть функция определена на сегменте кроме, быть может, точки и интегрируема на любом сегменте, принадлежащем либо , либо . Будем говорить, что функция интегрируема по Коши, если существует предел

называемый главным значением интеграла в смысле Коши.

Пример 2. Функция не интегрируема на сегменте в несобственном смысле, однако она интегрируема по Коши. При этом