5. Дифференциал дуги.

Пусть функции непрерывны и имеют на сегменте непрерывные первые производные. В этом случае переменная длина дуги отвечающая значениям параметра из сегмента как это следует

из теоремы 10.1, представляется в виде

Подынтегральная функция в правой части формулы (10.17) непрерывна, поэтому функция дифференцируема и справедливо равенство

Возводя полученное равенство в квадрат и умножая на будем иметь

Поскольку из формулы (10.18) получаем

Если рассматривается пространственная кривая, определяемая уравнениями (10.3), то при условии непрерывности функций и их производных первого порядка на сегменте для дифференциала пути пространственной кривой справедлива формула