2. Функциональные матрицы и их приложения.

Снова рассмотрим функций от переменных (13.28):

На этот раз предположим, что функции (13.28) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки причем все частные производные первого порядка этих функций непрерывны в самой точке

Составим из частных производных функций (13.28) следующую функциональную матрицу:

содержащую строк и столбцов.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 13.4. Пусть у функциональной матрицы (13.32): 1) некоторый минор порядка отличен от нуля в точке все миноры порядка равны нулю в некоторой окрестности точки Тогда функций, представленных в указанном миноре порядка, независимы в окрестности точки а каждая из остальных функций зависит в этой окрестности от указанных функций.

Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что в точке отличен от нуля минор, стоящий в левом верхнем углу матрицы (13.32), т. е. отличен от нуля определитель.

Тогда независимость в окрестности точки функций сразу вытекает из теоремы 13.3. Остается доказать, что любая из функций зависит в окрестности от Докажем, например, что зависит в окрестности точки от . Сосредоточим свое внимание на первых функциях: (13.28). Если обозначить через числа вида то всюду в некоторой окрестности точки -мерного пространства переменных первые функций (13.28) представляют собой единственное и дифференцируемое решение следующей системы уравнений:

С другой стороны, поскольку якобиан совпадающий с минором (13.33), отличен от нуля в точке то систему (13.34) можно в окрестности этой точки однозначно разрешить относительно Иными словами, всюду в достаточно малой окрестности точки о система (13.34) имеет единственное и дифференцируемое решение

Подчеркнем, что равенства (13.35) и первые равенств (13.28) полностью эквивалентны в окрестности точки . В частности, если лодставить определяемые уравнениями (13.35), в первые равенств (13.28), то указанные равенства обратятся в тождества относительно . Дифференцируя эти тождества по переменной и замечая, что мг не зависят от будем иметь

Заметим, что равенства справедливы для всех значений переменных из некоторой окрестности точки

Для того, чтобы убедиться в том, что функция зависит в некоторой окрестности точки от подставим значения определяемые уравнениями (13.35), в равенство (13.28). При этом превращается в функцию аргументов (эту функцию мы обозначили символом Ф). Остается доказать, что для всех значений переменных лежащих в достаточно малой окрестности точки

-функция Ф не зависит от Для этого достаточно доказать, что для всех из достаточно малой окрестности точки справедливы равенства

Продифференцируем функцию Ф по переменной как сложную функцию. При этом получим

Рассмотрим теперь следующий минор порядка матрицы (13.32):

По условию теоремы этот минор равен нулю всюду в окрестности: точки Умножим равенства на соответствующие алгебраические дополнения элементов последнего столбца минора (13.38) и после этого сложим все эти равенства. В силу теоремы о том, что сумма произведений элементов данного столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов этого (другого) столбца равна определителю (нулю), получим

В равенстве (13.39) символ обозначает минор (13.38), равный нулю всюду в окрестности точки а алгебраическое дополнение совпадает с минором (13.33), отличным от нуля в точке , а значит, и в некоторой окрестности этой точки. Из равенства (13.39) заключаем, что всюду в некоторой окрестности точки справедливы равенства (13.37). Теорема доказана.

Пример. Вернемся к исследованию зависимости функций

Функциональная матрица (13.32) имеет вид

Легко убедиться в том, что все определители третьего порядка тождественно равны нулю, причем в любой пространства которой не все четыре координаты совпадают, хотя бы один из определителей второго порядка

отличен от нуля. Значит, в окрестности любой указанной точки независимы, а зависит