3. Понятие равномерной непрерывности функции.

Предположим, что функция задана на таком множестве каждая точка которого является предельной точкой этого множества. Примером такого множества могут служить сегмент, интервал, полусегмент, полупрямая, бесконечная прямая, множество всех рациональных точек, принадлежащих любому из перечисленных множеств.

Определение. Функция называется равномерно непрерывной на множестве если для любого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число такое, что для любых двух точек множества удовлетворяющих условию справедливо неравенство

Замечание 1. Сразу же подчеркнем, что если функция равномерно непрерывна на множестве то она непрерывна в каждой точке х множества . В самом деле, взяв в сформулированном определении в качестве данную фиксированную точку множества а в качестве х — любую точку этого множества, мы придем к определению непрерывности функции в точке по Коши.

Замечание 2. Основным в сформулированцом определении равномерной непрерывности является требование, гарантарующее

существование по любому такого универсального которое обеспечивает справедливость неравенства (4.29) сразу для йсех точек множества удовлетворяющих условию

Если потребовать непрерывности функции в каждой точке множества то для любого и любой точки множества можно гарантировать существование «своего» положительного числа зависящего не только от но и и обеспечивающего справедливость неравенства для всех х из множества удовлетворяющих условикх -лго При этом, вообще говоря, может не существовать положительной точной нижней грани указанных по всем точкам множества т. е. равномерная непрерывность функции на множестве не вытекает, вообще говоря, из непрерывности этой функции в каждой точке множества

Замечание 3. Из данного нами определения равномерной непрерывности непосредственно вытекает, что если функция равномерно непрерывна на множестве то эта функция равно мерно непрерывна и на любом подмножестве множества

Рассмотрим примеры функций, как обладающих, так и не обладающих на данном множестве свойством равномерной непрерывности.

1. Убедимся в том, что функция равномерно непрерывна на полупрямой . В самом деле, для любых двух точек из указанной полупрямой справедливо неравенство

Поэтому, взяв для любого положительное число 6 равным мы получим, что для любых двух точек полупрямой удовлетворяющих условию справедливо неравенство

2. Функция не является равномерно непрерывной на интервале (0, 1). Чтобы убедиться в этом, достаточно доказать, что для некоторого и для любого как угодно малого найдется хотя бы одна пара точек интервала (0, 1) таких, что

Рассмотрим две последовательности точек, принадлежащих интервалу с элементами

Обе эти последовательности, а значит, и их разрость являются бесконечно малыми. Поэтому для любого как угодно малого найдется номер такой, что Вместе с тем для любого номера

Поэтому для и для как угодно малого найдется пара точек из интервала таких, что в то время как это и означает, что рассматриваемая функция не является равномерно непрерывной на интервале .

Заметим, что если бы мы рассмотрели ту же самую функцию не на интервале , а на интервале , где у — любое число из интервала то приведенные выше рассуждения уже не имели бы места. Этот факт не является случайным, ибо ниже мы покажем, что указанная функция является равномерно непрерывной на интервале при

3. Докажем, что функция не является равномерно непрерывной на полупрямой Заметим, что для любых двух точек полупрямой справедливо неравенство

Убедимся теперь в том, что не только для некоторого а даже для любого и для любого как угодно малого найдется пара точек из полупрямой таких, что

(Это и будет означать отсутствие свойства равномерной непрерывности у функции на рассматриваемой полупрямой.) Фиксировав произвольные возьмем в качестве х произвольное число, превосходящее единицу и такое, что и положим Для таких будет справедливо

неравенство . С другой стороны, в силу (4.30) для этих же будет справедливо неравенство

Заметим, что если бы мы рассмотрели ту же самую функцию не на полупрямой а на любом сегменте где — любое число, то проведенные нами рассуждения уже не имели бы места.

Этот факт становится понятным в силу следующей фундаментальной теоремы.

Основная теорема 4.16. Если функция непрерывна на сегменте то она и равномерно непрерывна на этом сегменте.

Доказательство. Предположим, что функция непрерывна на сегменте но не является равномерно непрерывной на этом сегменте.

Тогда для некоторого и для любого как угодно малого найдутся две точки сегмента такие, что

Выберем бесконечно малую последовательность положительных чисел Можно утверждать, что для указанного и для любого номера найдутся две точки сегмента такие, что

Так как последовательность состоит из точек сегмента то она ограничена и по теореме Больцано—Вейерштрасса (см. следствие 3 из теоремы 3.16 гл. 3) из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность Предел указанной подпоследовательности (в силу следствия 2 из теоремы 3.13 гл. 3) будет также принадлежать сегменту . В силу левого неравенства (4.31) соответствующая подпоследовательность будет сходиться к той же самой точке

Поскольку функция непрерывна в каждой точке сегмента она непрерывна и в точке . Но тогда, в силу определения непрерывности по Гейне, обе подпоследовательности соответствующих значений функции обязаны сходиться к т. е. разность указанных подпоследовательностей

обязана быть бесконечно малой. Это противоречит правому неравенству (4.31), справедливому для всех номеров и потому для всех номеров

Полученное противоречие доказывает, что наше предположение о том, что непрерывная на сегменте функция не является равномерно непрерывной на этом сегменте, является неверным. Теорема доказана.

Возвратимся теперь к рассмотренному выше примеру 2 и покажем, что функция — является равномерно непрерывной на интервале при любом у из интервала . В самом деле, при любом таком у функция непрерывна на сегменте Значит, по теореме 4.16 функция равномерно непрерывн - на сегменте . В силу замечания 3 к определению равномерной непрерывности функция тем более является равномерно непрерывной на интервале , представляющем собой подмножество сегмента

Теорему 4.16 удобно переформулировать в терминах колебания функции на данном сегменте.

Пусть функция ограничена на данном сегменте Назовем колебанием функции на сегменте разность между точной верхней и точной нижней гранями функции на этом сегменте.

Для непрерывной на сегменте функции колебание равно разности между максимальным и минимальным значениями этой функции на указанном сегменте.

Из теоремы 4.16 непосредственно вытекает следующее утверждение.

Следствие из теоремы 4.16. Если функция непрерывна на сегменте то для любого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число 6 такое, что колебание функции на любом содержащемся в сегменте сегменте длины, меньшей будет меньше числа .

Замечание 4. Анализируя доказательства теорем 4.14 и 4.15 Вейерштрасса и теоремы 4.16, нетрудно заметить, что в этих трех теоремах вместо сегмента можно взять произвольное множество для которого выполнены два требования: 1) это множество является ограниченным; 2) это множество содержит любую свою предельную точку (такое множество договоримся называть замкнутым).

Множество удовлетворяющее указанным двум требованиям, договоримся называть компактным множеством

или компактом. Таким образом, указанные три теоремы (т. е. две теоремы Вейерштрасса и теорема 4.16) справедливы не только для функции, непрерывной на сегменте, но и для функции, непрерывной на любом компакте.

В § 7 настоящей главы будут сформулированы более точные определения замкнутого и компактного множеств. Впрочем, для случая числовых множеств эти более точные определения оказываются эквивалентными приведенным нами выше определениям.