Глава 3. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
В гл. 1 уже указывалось, что одной из основных операций математического анализа является операция предельного перехода и что эта операция встречается в курсе анализа в различных формах.
В настоящей главе изучаются простейшие формы операции предельного перехода. Мы начинаем с изучения самой простейшей формы операции предельного перехода, основанной на понятии предела так называемой числовой последовательности.
Понятие предела числовой последовательности облегчит нам введение и другой весьма важной формы операции предельного перехода, основанной на понятии предельного значения (или, короче, предела) функции.
В конце главы дается общее определение предела функции по базе.
§ 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ И ЕЕ ПРЕДЕЛ
1. Понятие последовательности. Арифметические операции над последовательностями.
Понятие числовой последовательности известно из курса средней щколы. Примерами числовых последовательностей могут служить: 1) последовательность всех элементов арифметической или геометрической прогрессии; 2) последовательность периметров правильных 
-угольников, вписанных в данную окружность; 3) последовательность рациональных чисел 
приближающих число 1/3.
Если каждому значению 
из натурального ряда чисел 
ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число 
то множество занумерованных вещественных чисел
мы и будем называть числовой последовательностью или просто последовательностью.
Отдельные числа 
мы будем называть элементами или членами последовательности (3.1). Для сокращенной записи последовательности (3.1) будем использовать символ 
Так, например, символ 
обозначает последовательность 
а символ 
обозначает последовательность 
Рассмотрим наряду с последовательностью (3.1) еще одну последовательность
Назовем последовательность 
суммой последовательностей (3.1) и (3.2), последовательность 
— разностью последовательностей (3.1) и (3.2), последовательность 
— произведением последовательностей (3.1) и (3.2) и, наконец, последовательность 
— частным последовательностей (3.1) и (3.2).
Конечно, при определении частного последовательностей (3.1) и (3.2) необходимо требовать, чтобы все элементы последовательности (3.2) были отличны от нуля. Заметим, однако, что если у последовательности 
обращается в нуль лишь конечное число элементов, то частное 
можно определить с того номера, начиная с которого все элементы 
отличны от нуля.
