Глава 3. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

В гл. 1 уже указывалось, что одной из основных операций математического анализа является операция предельного перехода и что эта операция встречается в курсе анализа в различных формах.

В настоящей главе изучаются простейшие формы операции предельного перехода. Мы начинаем с изучения самой простейшей формы операции предельного перехода, основанной на понятии предела так называемой числовой последовательности.

Понятие предела числовой последовательности облегчит нам введение и другой весьма важной формы операции предельного перехода, основанной на понятии предельного значения (или, короче, предела) функции.

В конце главы дается общее определение предела функции по базе.

§ 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ И ЕЕ ПРЕДЕЛ

1. Понятие последовательности. Арифметические операции над последовательностями.

Понятие числовой последовательности известно из курса средней щколы. Примерами числовых последовательностей могут служить: 1) последовательность всех элементов арифметической или геометрической прогрессии; 2) последовательность периметров правильных -угольников, вписанных в данную окружность; 3) последовательность рациональных чисел приближающих число 1/3.

Если каждому значению из натурального ряда чисел ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число то множество занумерованных вещественных чисел

мы и будем называть числовой последовательностью или просто последовательностью.

Отдельные числа мы будем называть элементами или членами последовательности (3.1). Для сокращенной записи последовательности (3.1) будем использовать символ

Так, например, символ обозначает последовательность а символ обозначает последовательность

Рассмотрим наряду с последовательностью (3.1) еще одну последовательность

Назовем последовательность суммой последовательностей (3.1) и (3.2), последовательность — разностью последовательностей (3.1) и (3.2), последовательность — произведением последовательностей (3.1) и (3.2) и, наконец, последовательность — частным последовательностей (3.1) и (3.2).

Конечно, при определении частного последовательностей (3.1) и (3.2) необходимо требовать, чтобы все элементы последовательности (3.2) были отличны от нуля. Заметим, однако, что если у последовательности обращается в нуль лишь конечное число элементов, то частное можно определить с того номера, начиная с которого все элементы отличны от нуля.