Глава 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

В настоящей главе будут введены фундаментальные понятия! производной и дифференциала функции. Мы установим основные правила дифференцирования и вычислим производные всех простейших элементарных функций, уже приведенные нами в гл. 1 и известные из школьного курса. В конце главы будут рассмотрены производные и дифференциалы высших порядков и вопрос о. дифференцировании функции, заданной параметрически.

§ 1. ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

1. Приращение функции.

Разностная форма условия непрерывности. Рассмотрим функцию заданную на интервале Пусть х — любая фиксированная точка интервала — произвольное число, настолько малое, что значение также находится на интервале Это число обычно называют приращением аргумента.

Приращением функции в точке х, отвечающим приращению аргумента будем называть число

Так, для функции приращение в точке х, отвечающее приращению аргумента имеет вид

Справедливо следующее утверждение:

Для того чтобы функция являлась непрерывной в точке х, необходимо и достаточно, чтобы приращение этой функции в точке х, отвечающее приращению аргумента являлось бесконечно малым при

В самом деле, по определению функция непрерывна в точке х, если существует предел

В силу п. 4 § 4 гл. 3 существование предельного значения (5.3)

эквивалентно тому, что функция аргумента Л является бесконечно малой при

Доказанное утверждение позволяет выразить условие непрерывности функции в точке х в следующей форме: функция непрерывна в точке х, если приращение этой функции в точке х, отвечающее приращению аргумента является бесконечно малым при т. е. если

Условие (5.4) мы будем называть разностной формой условия непрерывности функции в точке х. Это условие мы будем неоднократно использовать в дальнейшем.

С помощью условия (5.4) еще раз убедимся в том, что функция непрерывна в любой точке х бесконечной прямой.

В самом деле, из формулы (5.2), из условия и из равенства непосредственно вытекает, что