2. Условия монотонности функции на интервале.

В качестве второго следствия формулы Лагранжа рассмотрим вопрос об условиях, обеспечивающих неубывание (невозрастание) функции на данном интервале.

Прежде всего напомним определения неубывания, невозрастания, возрастания и убывания функции на данном интервале.

1°. Говорят, что функция не убывает (не возрастает) на интервале если для любых точек из интервала удовлетворяющих условию справедливо неравенство

2°. Говорят, что функция возрастает (убывает) на интервале если для любых точек из интервала связанных условием справедливо неравенство

Теорема 6.6. Для того чтобы дифференцируемая на интервале функция не убывала (не возрастала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы производная этой функции была неотрицательной (неположительной) всюду на этом интервале.

Доказательство. 1) Достаточность. Пусть всюду на интервале Требуется доказать, что не убывает (не возрастает) на интервале Пусть — любые две точки из интервала удовлетворяющие условию Функция дифференцируема (а значит, и непрерывна) всюду на сегменте Поэтому к можно применить на сегменте теорему Лагранжа, в результате чего получим

где

По условию Поэтому правая, а значит, и левая части (6.8) неотрицательны (неположительны), что и доказывает неубывание (невозрастание) на

2) Необходимость. Пусть функция дифференцируема на интервале и не убывает (не возрастает) на этом интервале. Требуется доказать, что всюду на этом интервале. Так как не убывает (не возрастает) на интервале то эта функция не может убывать (возрастать) ни в одной точке интервала Значит, в силу теоремы 6.1 производная в одной точке интервала не может быть отрицательной (положительной), что и требовалось доказать.

Теорема 6.7. Для того, чтобы функция возрастала (убывала) на интервале достаточно, чтобы производная была положительной (отрицательной) всюду на этом интервале.

Доказательство проводится по той же схеме, что и доказательство достаточности в теореме 6.6. Пусть — любые

две точки из интервала удовлетворяющие условию Записывая для сегмента формулу Лагранжа, получим равенство (6.8), но на этот раз в этом равенстве

Вследствие этого левая часть (6.8) положительна (отрицательна), что и доказывает возрастание (убывание) на интервале

Замечание. Подчеркнем, что положительность (отрицательность) производной на интервале не является необходимым условием возрастания (убывания) функции на интервале Так, функция возрастает на Интервале но производная этой функции не является всюду положительной на этом интервале (она обращается в нуль в точке Вообще, легко доказать, что функция возрастает (убывает) на интервале если производная этой функции положительна (отрицательна) всюду на этом интервале, за исключением конечного числа точек, в которых эта производная равна нулю. (Для доказательства достаточно применить теорему 6.7 к каждому из конечного числа интервалов, на которых строго положительна (отрицательна), и учесть непрерывность в тех точках, в которых производная равна нулю.)

Установленную теоремой 6.7 связь между знаком производной и направлением изменения функции легко понять из геометрических соображений. Поскольку производная равна угловому коэффициенту касательной к графику функции знак производной указывает, острый или тупой угол с положительным направлением оси составляет луч касательной, лежащей в Еерхней полуплоскости. Если всюду на интервале то всюду на этом интервале луч касательной, лежащей в верхней полуплоскости, составляет с положительным направлением оси острый угол, значит, и кривая идег вверх всюду на этом интервале (рис. 6.6).

Рис. 6.6