ДОПОЛНЕНИЕ 1. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Изученное в гл. 9 понятие определенного интеграла Римана существенно использовало два обстоятельства: 1) тот факт, что промежуток по которому требуется произвести интегрирование, является конечным; 2) тот факт, что подынтегральная функция является на рассматриваемом промежутке ограниченной.

В настоящем дополнении будет дано обобщение понятия определенного интеграла Римана на два случая: 1) на случай, когда промежуток, по которому требуется произвести интегрирование, является бесконечным; 2) на случай, когда подынтегральная функция является неограниченной в окрестности некоторых точек области интегрирования.

Возникающее при таком обобщении понятие интеграла принято называть несобственным интегралом соответственно первого или второго рода.

§ 1. Несобственные интегралы первого рода

1. Понятие несобственного интеграла первого рода. Перенесем; понятие определенного интеграла на случай, когда область, по которой производится интегрирование, является бесконечной. На прямой существует три типа бесконечных связных, замкнутых множеств: 1) полупрямая полупрямая вся бесконечная прямая

Ради определенности рассмотрим подробно первое из указанных множеств, т. е. полупрямую

Предположим, что функция определена на полупрямой и что для любого числа А, удовлетворяющего неравенству существует определенный интеграл Римана

Этот определенный интеграл мы обозначим символом

Естественно, возникает вопрос о существовании предела функции при

Определение. Предел (9.1.2) в случае, если он существует, называется несобственным интегралом первого рода от функции по полупрямой и обозначается символом

При этом говорят, что несобственный интеграл (9.1.3) сходится, и пишут равенство

Впрочем, символ (9.1.3) употребляют и в случае, если указанного выше предела (9.1.2) не существует, но в этом случае говорят, что несобственный интеграл (9.1.3) расходится.

Совершенно аналогично определяются несобственные интегралы по полупрямой и по всей бесконечной прямой:

Первый из этих интегралов определяется как предел и обозначается символом

Что же касается интеграла то он определяется как предел

при независимом друг от друга стремлении А к

Из этих определений следует, что если для некоторого вещественного числа а сходится каждый из несобственных интегралов то сходится и несобственный интеграл причем справедливо равенство

Заметим еще, что если сходится несобственный интеграл — любое число, превосходящее а, то сходится и несобственный интеграл причем

Это утверждение непосредственно вытекает из определения сходимости несобственного интеграла.

Примеры. 1) Изучим вопрос о сходимости несобственного интеграла

Поскольку функция при любом интегрируема на сегменте , причем для нее

то

Поэтому несобственный интеграл - - сходится и для него справедливо равенство

2) Изучим вопрос о сходимости несобственного интеграла где а и А — произвольные вещественные числа, первое из которых положительно

Так как функция при любом интегрируема на сегменте причем

то при предел при существует и равен а при указанный предел не существует.

Таким образом, при несобственный интеграл сходится и равен а при несобственный интеграл расходится.