§ 3. ПРОСТЕЙШИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

Простейшими элементарными функциями, как уже отмечалось, обычно называют следующие функции:

Нашей основной целью является изучение вопроса об определении и непрерывности простейших элементарных функций. Следует заметить, что вопрос об определении простейших элемен тарных функций далеко не прост. Так, например, показательная функция легко может быть определена для рациональных значений аргумента х, вместе с тем эту функцию следует определить для произвольных вещественных значений х, т. е. следует определить возведение вещественного числа в любую вещественную степень х. Далее, определение тригонометрических функций с помощью наглядных геометрических соображений имеет логический пробел. Возможность определить эти функции для всех вещественных значений аргумента х сводится к возможности установления взаимно однозначного соответствия между точками единичной окружности и всеми вещественными числами полусегмента

Всеми этими вопросами мы и будем заниматься в настоящем параграфе.

1. Показательная функция.

Начнем наше рассмотрение с определения рациональных степеней положительных чисел. Для того чтобы возвести любое вещественное число в целю положительную степень следует умножить это число х само на себя раз.

Следовательно, при целом мы можем считать определенной степенную функцию для всех вещественных значений х. Установим некоторые простейшие свойства этой функции.

Утверждение 1. Степенная функция при и целом положительном возрастает и непрерывна.

Доказательство. Покажем, что функция возрастает. Пусть Тогда Оба сомножителя в правой части, в соответствии с выбором значений положительны. Поэтому положительна и левая часть равенства, т. е. а это означает возрастание функции при

Непрерывность функции в любой точке а бесконечной прямой была установлена в примере 1 п. 1 § 1 настоящей главы. Утверждение 1 доказано.

Рассмотрим степенную функцию на сегменте где — любое положительное число. Так как эта функция непрерывна и возрастает на указанном сегменте, то в силу теоремы 4.5 она имеет на сегменте возрастающую и непрерывную обратную функцию, которую мы обозначим через Поскольку можно выбрать как угодно большим, то и также можно сделать сколь угодно большим. Следовательно, функция определена для всех неотрицательных значений у. Меняя для этой функции обозначение аргумента у на х, а обозначение функции х на у, мы получим степенную функцию определенную для всех вещественных

Теперь мы в. состоянии определить любую рациональную степень положительного числа а. Определим, прежде всего, , как вещественное число равное значению функции в точке а.

Далее, если где — целые положительные числа, то мы положим

Кроме того, положим по определению

Тем самым, мы определили любую рациональную степень положительного вещественного числа а.

Выполняются следующие свойства рациональной степени положительных вещественных чисел:

Докажем сначала справедливость первого свойства

Заметим, что при целом положительном равенство

в котором под тип понимаются любые целые положительные числа, заведомо справедливо, ибо как левая, так и правая части этого равенства равны произведению числа самого на себя раз.

Полагая докажем равенство в ситуации любых положительных рациональных и Положим Если бы было отлично от то из возрастания степенной функции следовало бы, что и а последнее соотношение, в силу уже доказанной справедливости равенства при целом , означало бы, что Полученное соотношение противоречит уже доказанному нами для целых положительных равенству Тем самым и первое равенство доказано для любых положительных рациональных

Распространение этого равенства на неположительные и не представляет труда в силу нашей договоренности о том, что

Второе равенство также достаточно доказать для положительного рационального Полагая это равным где тип — целые положительные числа, заметим, что нам достаточно доказать равенство ибо перемножением таких равенств будет доказано общее соотношение

Для доказательства равенства заметим, что в силу свойств взаимно обратных функций мы можем утверждать, что Поэтому, положив и предполагая, что мы получили бы, что что противоречит равенству

Докажем теперь последнее свойство учитывая, что первые два уже доказаны. Пусть тогда и мы приходим к следующему равенству:

(Последнее равенство справедливо, так как — целые числа.)

Таким образом,

что и требовалось.

При рациональном справедливо неравенство

В самом деле, пусть Перемножая почленно указанных неравенств, получим Но это неравенство противоречит неравенству полученному почленным перемножением неравенств вида

Отметим также, что если рациональная дробь имеет нечетный знаменатель то определение рациональной степени можно распространить и на отрицательные числа, полагая при что

Убедимся в том, что функция при определенная нами на множестве рациональных чисел, монотонно возрастет на этом множестве.

Действительно, пусть — два рациональных числа таких, что Тогда

Поскольку то (в силу установленного выше) Таким образом, правая часть равенства (4.3) положительна. Следовательно,

что и требовалось.

Определим, наконец, функцию не только для рациональных значений х, но и для любых вещественных значений. Пусть х — произвольное вещественное число. Рассмотрим всевозможные рациональные числа удовлетворяющие неравенствам

Определим при как вещественное число у, удовлетворяющее неравенствам

при всевозможных рациональных удовлетворяющих неравенствам (4.4).

Оказывается, что такое число у существует и притом только одно. Следовательно, таким путем функция будет определена на множестве всех вещественных х.

Мы покажем, что эта функция возрастает и непрерывна на всей вещественной прямой. Эти результаты содержатся в доказываемых ниже утверждениях,

Утверждение 2. Для любых фиксированных вещественных чисел и всевозможных рациональных чисел удовлетворяющих неравенствам (4.4), существует и притом единственное вещественное число у, удовлетворяющее неравенствам (4.5).

Доказательство. Докажем сначала существование такого числа у. Фиксируем произвольное рациональное число р, удовлетворяющее правому неравенству (4.4), и рассмотрим всевозможные рациональные числа а, удовлетворяющие левому неравенству (4.4). Так как и показательная функция, определенная на множестве рациональных чисел, возрастает, то Таким образом, множество ограничено сверху, и число а? является одной из верхних граней этого множества. Из основной теоремы 2.1 следует, что множество имеет точную верхнюю грань, которую мы обозначим через у. Покажем, что у удовлетворяет неравенствам (4.5). Из определения верхней грани вытекает справедливость левого неравенства (4.5), а справедливость правого неравенства (4.5) вытекает из того, что — одна из верхних граней, а у — точная верхняя грань множества

Докажем теперь, что такое число у только одно. Достаточно доказать, что для любого найдутся такие рациональные числа удовлетворяющие неравенствам (4.4), для которых Тогда любые два числа удовлетворяющие неравенствам (4.5), обязаны совпасть, так как разность между ними по модулю меньше любого наперед заданного числа

Фиксируем произвольное положительное число и некоторое рациональное число удовлетворяющее правому неравенству (4.4). Тогда так как то

Неравенство будет доказано, если мы установим возможность выбора в неравенствах (4,4) таких рациональных , что

В гл. 2 было доказано, что для любого натурального можно выбрать рациональные числа удовлетворяющие неравенствам (4.4), так, что разность будет меньше Таким образом, достаточно доказать, что существует такое натуральное что

Пусть Так как то положительно. Используя первые два члена бинома Ньютона, мы получим, что

Отсюда Значит

Выберем теперь натуральное удовлетворяющим неравенству или Тогда и доказательство однозначной определенности числа у, удовлетворяющего неравенствам (4.5), завершено. Утверждение 2 доказано.

Заметим, что если х — рациональное число и — значение в точке х показательной функции, первоначально определенной лишь на множестве рациональных чисел, то и является тем единственным числом у, которое удовлетворяет неравенствам (4.5).

Утверждение 3. Показательная функция при возрастает на всей бесконечной прямой.

Доказательство. Пусть и — любые два вещественных числа такие, что Всегда существуют рациональные числа такие, что (см. лемму 2 § 3 гл. 2). Так как то по определению показательной функции выполнены неравенства . С другой стороны, так как то из возрастания показательной функции на множестве рациональных чисел вытекает Сопоставляя неравенства и используя свойство транзитивности знаков получим, что а это и доказывает возрастание функции Утверждение доказано.

Утверждение 4. Показательная функция при является непрерывной функцией в любой точке бесконечной прямой.

Доказательство. Пусть х — произвольное вещественное число, а — любая сходящаяся к х последовательность. В силу определения непрерывности по Гейне достаточно доказать, что для любого существует такой номер что при всех Фиксируем произвольное и по нему рациональные числа такие, что и Возможность фиксировать по любому такие рациональные числа была установлена в утверждении 2. Поскольку последовательность сходится к то существует такой номер что при всех справедливы неравенства Так как показательная функция монотонно возрастает, то при всех

Таким образом, оба числа при заключены между двумя числами разность между которыми меньше . Отсюда следует, что при справедливо неравенство

которое и доказывает непрерывность показательной функции в произвольной точке х. Утверждение 4 доказано.

Получим теперь некоторые следствия из доказанных свойств показательной функции. Прежде всего заметим, что если то где Поэтому функцию при можно определить как функцию при

Следствие 1. Показательная функция при положительна (при всех значениях

Если х — произвольная точка числовой оси, рациональное число такое, что то по определению показательной функции на множестве рациональных чисел а по утверждению при Следовательно,

Следствие 2. Показательная функция при удовлетворяет условиям:

В самом деле, так как то где Следовательно, . В силу монотонности функции получаем, что и Так как то и поэтому

Следствие 3. Значения функции при заполняют всю положительную полупрямую

Действительно, по следствию 1 функция принимает только положительные значения, а по следствию 2 она принимает как сколь угодно малые, так и сколь угодно большие положительные значения. Из непрерывности и строгой монотонности и из теоремы 4.4 вытекает, что любое положительное число является значением функции

Следствие 4. Для любых вещественных чисел справедливы соотношения

В самом деле, эти соотношения уже были установлены нами для рациональных показателей. Отсюда вытекает справедливость их и для произвольных вещественных показателей. Убедимся, например, в справедливости первого соотношения. Пусть — последовательности рациональных чисел, сходящиеся соответственно к Тогда . Переходя к пределу при и используя непрерывность показательной функции, получим . Аналогично устанавливаются и остальные равенства.

Заметим теперь, что мы фактически изучили и свойства показательной функции при Действительно, ее непрерывность

следует из самого определения. Из определения следует также, что эта функция монотонно убывает на бесконечной прямой. Следствия 1, 3, 4 верны и для функции при а следствие 2, очевидно, будет выглядеть так:

На рис. 4.1 и 4.2 изображены графики показательной функции для случаев

Рис. 4.1

Рис. 4.2

Замечание. Показательную функцию можно было бы определить как решение некоторого функционального уравнения, удовлетворяющее определенным условиям. Можно доказать, что существует, и притом единственная, функция определенная на всей бесконечной прямой и удовлетворяющая трем требованиям:

1) для любых вещественных выполнено соотношение

3) функция непрерывна при

Такой функцией и является построенная выше функция при