§ 3. ОБЪЕМ ТЕЛА В ПРОСТРАНСТВЕ

Основные определения и утверждения настоящего параграфа аналогичны соответствующим определениям и утверждениям § 2. Это позволяет нам ограничиться основными формулировками.

1. Объем тела.

Рассмотрим множество всех точек пространства и фиксируем одну из этих точек А.

-окрестностью точки А будем называть множество всех тех точек пространства, которые расположены внутри шара радиуса с центром в точке А.

Точку А будем называть внутренней (внешней точкой произвольного множества точек пространства если найдется такое, что -окрестность точки А целиком принадлежит [целиком не принадлежит] множеству

Точки множества не являющиеся ни внутренними, ни внешними, назовем граничными точками множества а совокупность всех граничных точек назовем границей множества

Множество точек пространства назовем ограниченным множеством или телом, если найдется шар, содержащий все точки этого множества.

Среди всех тел выделим так называемые многогранные тела, представляющие собой объединение конечного числа ограниченных многогранников. Объем многогранного тела заимствуем из курса средней школы. Подчеркнем, что этот объем (как. и площадь многоугольной фигуры) обладает свойствами аддитивности, инвариантности и монотонности.

Рассмотрим произвольное тело а также всевозможные многогранные тела Р, содержащиеся в и всевозможные многогранные тела Q, содержащие

Назовем верхним объемом тела точную нижнюю грань числового множества объемов всех многогранных тел Q, содержащих т. е. число

Аналогично назовем нижним объемом тела точную верхнюю грань числового множества объемов всех многогранных тел Р, содержащихся в т. е. число

Из этих определений очевидно, что

Определение 1. Тело называется кубируемым (или имеющим объем), если

При этом число называется объемом тела

В полной аналогии с теоремой 10.2 доказывается следующее утверждение.

Теорема 10.4. Для кубируемости тела необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлись такое содержащиеся в многогранное тело Р и такое содержащее многогранное тело Q, для которых

Замечание. В формулировке теоремы 10.4 вместо многогранных тел Р и Q могут быть взяты произвольные кубируемые тела Р и Q, удовлетворяющие всем другим условиям этой теоремы.

Определение 2. Множество точек пространства назовем множеством объема нуль, если это множество содержится в многогранном теле сколь угодно малого объема.

Теорема 10.4 может быть переформулирована.

Теорема 10.4. Тело кубируемо тогда и только тогда, когда его граница имеет объем нуль.

Введенное нами понятие объема тела обладает свойствами аддитивности, инвариантности и монотонности.