3. Важные правила, позволяющие вычислять определенные интегралы.

При вычислении определенных интегралов очень часто используется правило замены переменной под знаком определенного интеграла.

Пусть функция имеет непрерывную производную на

сегменте причем Тогда (при условии, что функция непрерывна на сегменте

Указанная формула называется формулой замены переменной под знаком определенного интеграла.

Доказательство. Пусть -некоторая первообразная функции Функции дифференцируемы на сегментах соответственно. Поэтому, согласно правилу вычисления производной сложной функции, для всех t из

Заметим, что производная Ф в выражении справа вычислена по аргументу

Заметим также, что Подставив в правую часть формулы для это равенство, получаем

Таким образом, функция является на сегменте первообразной для функции

согласно условию. Следовательно, с одной стороны, а с другой стороны, что и требовалось.

Сформулируем и установим теперь правило интегрирования по частям.

Пусть функции имеют непрерывные производные на сегменте тогда

Действительно, Поэтому функция является первообразной функции Следовательно,

и наше утверждение доказано. Последнюю формулу удобно записывать в виде