§ 3. ЗАВИСИМОСТЬ ФУНКЦИЙ

1. Понятие зависимости функций. Достаточное условие независимости.

Пусть функций от одних и тех же переменных

определены и дифференцируем в некоторой открытой -мерной области

Будем говорить, что одна из этих функций, например зависит в области D от остальных функций, если сразу для всех точек области D

где Ф — некоторая функция, определенная и дифференцируемая в соответствующей области изменения своих аргументов. Функции будем называть зависимыми в области если одна из этих функций (все равно какая) зависит в области D от остальных.

Если же не существует дифференцируемой функции Ф такой, что сразу для всех точек области D справедливо тождество вида (13.29) хотя бы для одного то мы будем называть функции независимыми в области

Примеры. 1) Легко убедиться в том, что три функции четырех переменных

зависимы в любой области D четырехмерного пространства, ибо для всех точек этой области

2) Покажем теперь, что две функции двух переменных независимы в любой области D плоскости содержащей начало координат. Ясно, что функция сохраняет постоянное значение нуль на прямой проходящей через начало координат (рис. 13.5).

Но на этой прямой функция имеет переменное значение

Поэтому на том участке этой прямой, который лежит внутри заведомо не зависит от Совершенно аналогично доказывается, что на лежащем внутри области D участке прямой и, значит, не зависит от «2.

Рис. 13.5

Замечание. В курсе линейной алгебры вводится понятие линейной зависимости функций: функций называются линейно зависимыми в области если для всех точек области D одна из этих функций выражается в виде линейной функции от остальных. Ясно, что линейная зависимость функций является частным случаем зависимости этих функций, ибо если функции линейно зависимы в области то они зависимы в этой области, но существуют функции, зависимые в области но не являющиеся в D линейно зависимыми (например, функции, выписанные в примере 1).

Теорема 13.3 (достаточное условие независимости функций). Пусть функций от переменных

определены и дифференцируемы в окрестности точки Тогда если якобиан из этих функций по каким-либо переменным отличен от нуля в точке то эти функции независимы в некоторой окрестности точки

Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что в точке отличен от нуля якобиан

Докажем теорему от противного. Предположим, что функции зависимы в некоторой окрестности точки т. е. одна из этих функций, например для всех точек этой окрестности выражается в виде где Ф — некоторая дифференцируемая функция. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, вычислим производную функции по любой из переменных Будем иметь

Формулы (13.31), если их взять для любого значения в точке говорят о том, что строка якобиана (13.30) представляет собой линейную комбинацию остальных строк с коэффициентами, соответственно равными ди Но в этом случае якобиан (13.30) равен нулю в точке что противоречит условию теоремы.

Пример. Уже рассмотренные выше две функции независимы в окрестности любой точки ибо якобиан всюду.