2. Недостаточность рациональных чисел для измерения отрезков числовой оси.

Договоримся называть числовой осью прямую, на которой выбраны определенная точка О (начало отсчета), масштабный отрезок длину которого мы принимаем равной единице, и положительное направление (обычно от О к Е). Очевидно, каждому рациональному числу соответствует на числовой оси определенная точка. В самом деле, из курса средней школы известно, как построить отрезок, длина которого составляет часть длины масштабного отрезка — любое целое положительное число). Следовательно, мы можем построить и отрезок длина которого относится к длине масштабного отрезка как где — любые целые положительные числа. Отложив такой отрезок вправо (влево) от точки О, мы получим точку соответствующую рациональному числу (рис. 2.1).

Заметим теперь, что не каждой точке М числовой оси соответствует рациональное число. Так, например, если точка М выбрана так, что длина отрезка равна диагонали квадрата, стороной которого служит масштабный отрезок то поскольку длина масштабного отрезка равна единице, по теореме Пифагора длина х отрезка является корнем уравнения и, как показано в курсах средней школы, не является рациональным числом. Но это и означает, что указанной точке М не соответствует рациональное число.

Рис. 2.1

Рис. 2.2

Естественно, возникает потребность расширить множество рациональных чисел и ввести в рассмотрение более широкое множество чисел так, чтобы каждой точке числовой оси соответствовало некоторое число из этого более широкого множества (или, что то же самое, чтобы с помощью этого более широкого множества чисел можно было выразить длину любого отрезка числовой оси).

Убедимся в том, что посредством измерения отрезка каждой точке М числовой оси можно поставить в соответствие вполне определенную бесконечную десятичную дробь.

Пусть М — любая точка числовой оси. Ради определенности предположим, что точка М лежит направо от О. Проведем процесс измерения отрезка при помощи масштабного отрезка

Сначала выясним, сколько раз целый масштабный отрезок уложится в отрезке Могут представиться два случая:

1) Отрезок укладывается в отрезке целое число раз с некоторым остатком меньшим (рис. 2.2). В этом случае целое число представляет собой результат измерения по недостатку с точностью до числа 1.

2) Отрезок укладывается в отрезке целое число раз без остатка. В этом случае процесс измерения можно считать законченным и целое рациональное число считать длиной отрезка Формально мы можем утверждать, что в этом случае точке М соответствует бесконечная десятичная дробь которая отождествляется с целым рациональным числом

В первом случае процесс измерения следует продолжить и выяснить, сколько раз 1/10 часть масштабного отрезка укладывается в отрезке (являющемся остатком измерения с помощью целого отрезка Снова могут представиться два случая:

1) 1/10 часть укладывается в отрезке раз с некоторым остатком меньшим 1/10 части (см. рис. 2.2). В этой случае рациональное число представляет собой результат измерения по недостатку с точностью до числа 1/10.

2) 1/10 часть укладывается в отрезке целое число раз без остатка. В этом случае процесс измерения можно считать законченным и рациональное число считать длиной отрезка Формально мы можем утверждать, что в этом случае точке М соответствует бесконечная десятичная дробь отождествляемая с рациональным число

Продолжая указанные рассуждения далее, мы придем к двум возможностям:

1) либо описанный процесс измерения оборвется на шаге вследствие того, что точке М соответствует рациональное число (в этом случае точке М соответствует бесконечная десятичная дробь которую мы отождествляем а рациональным числом

2) либо описанный процесс измерения никогда не оборвется и мы получим бесконечную последовательность рациональных чисел

представляющих собой результат измерения по недостатку отрезка с точностью до

Каждое из чисел последовательности (2.1) может быть получено обрыванием на соответствующем знаке бесконечной десятичной дроби

Таким образом, в случае 2) точке М числовой оси отвечает вполне определенная бесконечная десятичная дробь (2.2). Можно сказать, что и в случае 1) точке М отвечает бесконечная десятичная дробь (2.2), но в этом случае у этой дроби все десятичные знаки с номером, большим равны нулю, т. е. указанная дробь в случае 1) имеет вид .

Приведенные нами рассуждения применимы и для случая, когда точка М лежит левее точки О, только в этом случае естественно считать, что все элементы последовательности (2.1) и бесконечная дробь имеют отрицательный знак.

Итак, мы убедились, что описанный нами процесс измерения позволяет поставить в соответствие каждой точке М числовой оси вполне определенную бесконечную десятичную дробь. Это обстоятельство

естественно приводит нас к необходимости рассмотрения чисел, представимых бесконечными десятичными дробями.

Замечание. Конечно, описанный нами процесс измерения отрезка можно видоизменить так, что он будет приводить к рассмотрению не бесконечных десятичных, а, например, бесконечных двоичных или бесконечных троичных дробей. Желание рассматривать бесконечные десятичные дроби вызвано лишь той особой ролью, которую традиционно играет десятичная система счисления. Развитие электронной вычислительной техники повысило роль двоичной и троичной систем счисления, ибо (в силу конструктивных особенностей ЭВМ) эти системы счисления более удобны в практике использования ЭВМ.