2. Критерий интегрируемости Лебега.

Будем говорить, что множество А точек сегмента имеет меру нуль, если для любого можно указать не более чем счетную систему интервалов, покрывающую все точки множества А и имеющую сумму длин, не большую чем е. Заметим, что число интервалов может быть и бесконечным, однако они имеют длины такие, что если

В теории, изучающей меру множеств, доказывается следующий критерий интегрируемости функции на сегменте по Риману.

Теорема 9.6 (критерий Лебега). Для того чтобы ограниченная на сегменте функция была интегрируемой по Риману на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы множество точек разрыва этой функции имело меру нуль.

Доказательство этой теоремы можно найти в книге В. А. Ильина, Э. Г. Позняка «Основы математического анализа», II, с. 265—266.