2. Свойства интеграла Стилтьеса.

Сформулируем ряд свойств интеграла Стилтьеса, непосредственно вытекающих из его определения.

а) Линейное свойство как относительно интегрируемой, так и относительно интегрирующей функции (при условии существования каждого из интегралов Стилтьеса в правой части):

здесь — произвольные числа.

б) Если выполнено условие то

в предположении, что существуют все три интеграла.

Подчеркнем, что из существования обоих интегралов вообще говоря, не вытекает существование интеграла Вот соответствующий пример:

Интегралы оба существуют и равны нулю, так как соответствующие им суммы Стилтьеса все равны нулю. Действительно, в первом интеграле во втором для любого разбиения сегмента Однако интеграл

не существует. В самом деле, пусть разбиение сегмента не содержащее в качестве точки разбиения точку 0.

Тогда в сумме Стилтьеса остается лишь одно слагаемое, а именно слагаемое

для которого точка нуль содержится в сегменте . В зависимости от того, будет ли удовлетворять условию или мы получим, что или так что а не имеет предела при стремлении диаметра разбиений к нулю.

Указанный факт связан с тем, что как у функции так и у функции точка 0 является точкой разрыва.

в) Для интеграла Стилтьеса (9.2.2) справедлива формула среднего значения.

Пусть функция ограничена на сегменте так что а функция возрастает на этом сегменте. Тогда найдется такое число удовлетворяющее неравенствам что для интеграла Стилтьеса справедлива формула среднего значения

В частности, если дополнительно предположить непрерывность на сегменте то найдется точка такая, что

Доказательство этой формулы вполне аналогично доказательству формулы среднего значения для интеграла Римана (см. п. 2, § 4).