ДОПОЛНЕНИЕ 3. Дифференциальное исчисление в линейных нормированных пространствах

В гл. 5, 6, 7 были изучены вопросы дифференциального исчисления функции одной переменной, а также были исследованы экстремальнее свойства функции одной переменной. В предыдущих параграфах настоящей главы эти же вопросы изучались уже для функций многих переменных.

Подчеркнем, что всюду в гл. 5, 6, 7 под функцией мы понимали соответствие между точками множества числовой оси (или точками множества евклидова пространства) и подмножеством числовой оси. Другими словами, такие функции отображают множество числовой оси шит -мерного евклидова пространства в подмножество числовой оси. Такие функции могут быть названы числовыми (скалярными) функциями, ибо множество значений таких функций есть числа (скаляры) вещественной оси.

В дополнении 2 к этой главе мы вводили понятие функции, отображающей одно абстрактное множество в другое (например, одно метрическое пространство в другое метрическое пространство, одно нормированное пространство в другое нормированное пространство и т. Такие функции называются операторами, отображениями, функциями множеств т. д.

В частности, можно рассматривать функции, отображающие -мерное евклидово пространство в -мерное евклидово пространство. Такие функции называются уже векторными функциями, поскольку значениями таких функций являются не числа, а векторы некоторого пространства. Например, если отображение происходит в -мерное евклидово пространство, то значениями функции, осуществляющей это отображение, являются векторы «-мерного пространства.

Примером функции, осуществляющей отображение одного метрического пространства X в то же пространство X может быть тождественное отображение Е, ставящее в соответствие каждой точке ту же точку Отображение ставящее в соответствие точке х нормированного пространства число — норму элемента х, есть пример функции, заданной на нормированном пространстве

В этом параграфе будет построено дифференциальное исчисление функций, заданных на нормированном пространстве. В качестве элементарного следствия наших построений могут быть получены факты, относящиеся к функциям, осуществляющим отображения -мерного евклидова пространства в -мерное евклидово пространство (при этом натуральное число может как совпадать, так и не совпадать с натуральным числом

1. Понятие дифференцируемости. Сильная и слабая дифференцируемость в линейных нормированных пространствах.

Пусть — два нормированных пространства и — отображение (функция), действующее из в и определенное на некотором открытом множестве 2 пространства Напомним, что поскольку — нормированное пространство, то оно, в частности, является и метрическим пространством; следовательно, все понятия, введенные в метрических пространствах

странствах, такие, как открытое, замкнутое, ограниченное множество, расстояние между точками и т. д. имеют смысл. Подчеркнем, что в этом дополнении будут использоваться многие понятия, введенные в дополнении 2. Введем понятие дифференцируемого отображения.

Определение. Назовем отображение дифференцируемым в данной точке х, принадлежащей открытому множеству если существует такой ограниченный линейный оператор что для любого существует такое, что если

или, что то же самое,

где при . Здесь

Индексы или у знака нормы означают, что норма берется соответственно в пространстве или Для простоты записи договоримся в дальнейшем о том, что там, где не будет возникать недоразумений, эти индексы опускать.

Выберем последовательность чисел Согласно сформулированному определению ей отвечает последовательность чисел и для любой последовательности точек такой, что мы получим, что

когда (поскольку в силу ограниченности линейного оператора

Следовательно, при т. е. если обозначить через то Таким

образом, дифференцируемое в точке х отображение непрерывно в этой точке.

Выражение при каждом является элементом пространства и называется сильным дифференциалом (или дифференциалом Фреше) отображения в точке х (и иногда обозначается символом Линейный оператор называется производной или сильной производной отображения в точке х. Будем обозначать эту производную символом Таким образом, мооюно записать, что сильный дифференциал отображения по определению равен а сильная производная равна

Если отображение дифференцируемо в точке х, то соответствующая производная определяется единственным образом. В самом деле, пусть

Тогда

Следовательно, для любого найдется такое что из неравенства следует неравенство

Разделим обе части этого неравенства на Тогда получим, что выполнено неравенство

справедливое в силу свойства нормы и линейности операторов Полагая — где мы получим, что

для любого вектора из единичной сферы (т. е. для любого вектора, с нормой, равной единице).

В силу произвольности отсюда следует совпадение операторов всюду на единичной сфере. Поскольку операторы линейные, то они, очевидно, совпадают и всюду, т. е.

Для того чтобы проиллюстрировать определение сильной дифференцируемости отображения одного нормированного пространства в другое на конкретном примере, рассмотрим случай отображения т. е. отображения -мерного евклидова пространства в числовую ось. В этом случае отображение есть обычная числовая функция от переменных. Если обозначить приращения аргумента через аргумента через аргумента через то, как это следует из формулы (12.15), условие дифференцируемости функции переменных в точке принадлежащей некоторому открытому множеству записывается в виде

где

Заметим, что справедливо равенство где берется в пространстве как в нормированном пространстве.

Поэтому если функция переменных дифференцируема, то она, очевидно, и сильно дифференцируема, как отображение нормированного пространства в нормированное пространство причем сильная производная определяется из условия т. е. равно скалярному произведению вектора на вектор

Из курса линейной алгебры мы знаем, что всякий линейный функционал из пространства имеет вид скалярного произведения.

Таким образом, в случае отображения -мерного евклидова пространства в числовую ось понятие сильной дифференцируемости функции очевидно, в силу единственности производной совпадает с понятием ее дифференцируемости.

Установим теперь некоторые элементарные факты, непосредственно вытекающие из определения производной.

Свойство 1. Если, от x не зависит — является постоянным), то где О — нулевой оператор.

Доказательство этого свойства очевидно.

Свойство 2. Производная непрерывного (т. е. ограниченного) линейного отображения А есть само это отображение:

Действительно,

Поэтому

Свойство 3 (производная сложной функции). Пусть — три нормированных пространства, — окрестность точки — отображение этой окрестности в — окрестность точки — отображение этой окрестности в Тогда если отображение дифференцируемо в точке дифференцируемо в точке то отображение (которое определено в некоторой окрестности точки и отображает ее в дифференцируемо в точке и

В самом деле, согласно условиям дифференцируемости отображений

и

где - величина, стремящаяся к нулю при стремлении к нулю величина, стремящаяся к нулю при стремлении к нулю

Операторы — постоянные операторы, ограниченные по норме. Поэтому . В самом деле, если где — норма ограниченного Таким образом, для всякого существует (а именно такое, что если если (поскольку, если выполнено это неравенство, то тем боле

Следовательно, Соотношение доказывается еще проще.

Учитывая доказанные соотношения, получим

где . Далее,

Следовательно,

и формула для производной сложной функции полностью доказана.

Если — числовые функции, то это формула превращается в известное нам правило дифференцирования сложной функции.

Для отображений это правило называется еще правилом вычисления производной композиции отображений.

Свойство 4. Пусть — два непрерывных отображения, действующих из Если дифференцируемы в точке то и отображения где а — число, тоже дифференцируемы в этой точке, причем

В самом деле, из определения суммы операторов и произведения оператора на число получаем, что

Из этих равенств и получаем требуемые соотношения.

Рассмотрим теперь еще одно понятие, связанное с дифференцируемостью отображения.

Определение. Слабым дифференциалом дифференциалом Гато) отображения называется предел

где сходимость понимается по норме в пространстве

Слабый дифференциал называется еще первой вариацией от ни в точке х и обозначается символом

Слабый дифференциал может и не быть линеен по Если же оператор оказывается линейным, т. е. если

где — ограниченный линейный оператор, то этот оператор называется слабой производной (или производной ).