§ 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1. Частные производные функции нескольких переменных.

Пусть - внутренняя точка области задания функции . Рассмотрим в данной фиксированной точке отношение частного приращения

§ 3, формулы (12.8) и (12.9)) к соответствующему приращению аргумента

Отношение (12.12) представляет собой функцию от определенную для всех отличных от нуля значений для которых точка принадлежит области задания функции

Определение. Если существует предел отношения (12.12) частного приращения функции в точке к соответствующему приращению аргумента при то этот предел называется частной производной функции в точке М по аргументу и обозначается одним из следующих символов:

Таким образом,

Отметим, что частная производная функция по аргументу представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной при фиксированных значениях остальных переменных. Поэтому вычисление частных производных производится по обычным правилам вычисления производных функций одной переменной.

Примеры

Замечание 1. Из существования у функции в данной точке всех частных производных, вообще говоря, не вытекает непрерывность

функции в этой точке. Мы уже убедились, что функция? (12.10)

не является непрерывной в точке (см. пример 1° п. 2 § 3).. Однако в этой точке указанная функция имеет частные производные по х и у. Это следует из того, что ; поэтому

Замечание 2. Подчеркнем, что данное нами определение понятия частных производных всегда пригодно для внутренних точек области задания функции, но для граничных точек этой области, вообще говоря, непригодно.

Это связано, в с тем, что в граничных точках области задания функции невсегда можно вычислить частные приращения функции (так, например, обстоит дело с граничной точкой области, изображенной на рис. 12.2).

Рис. 12.2

В связи со сказанным принято определять частные производные в граничных точках: как пределы этих производных при стремлении точек к границе.