4. Метод парабол.

На этот раз предположим, что функция имеет на рассматриваемом сегменте непрерывную четвертую производную, и снова начнем с вычисления интеграла

Как и выше, будем исходить из формул (11.15) и (11.16), но при этом положим в этих формулах (числом Я распорядимся в дальнейшем!), . Тогда

где — подлежащий определению остаточный член. Для оценки остаточного члена обозначим, как и выше, через первообразную

разную функции и учтем, что Получим, что

Пусть, как и выше, Разложим функции по формуле Маклорена с остаточным членом в интегральной форме. Подставляя в эти разложения значения вычисленные в и учитывая, что будем иметь

Из последней формулы вытекает, что

Из формулы (11.28) видно, что остаточный член равен разности выражений (11.29) и (11.30). Чтобы сделать этот остаточный член более высоким по порядку малости, выберем значение К так, чтобы вторые члены в правых частях формул (11.29) и (11.30) совпадали, т. е. положим При таком значении разность формул (11.29) и (11.30) дает

Имея в виду, что функция неотрицательна

на сегменте [0, с], применим к последнему интегралу первую формулу среднего значения. Учитывая, что и обозначая через некоторое значение аргумента из сегмента , получим

Применяя к выражению в квадратных скобках формулу усреднения (11.14) при и обозначая через некоторое значение аргумента из сегмента , окончательно получим

Для вычисления интеграла разделим сегмент на равных частей точками и положим Получим

где

(Здесь мы применим формулу усреднения

Формула (11.31) называется формулой Симпсона или формулой парабол. Геометрический смысл этой формулы;

ясен из рис. 11.16: площадь криволинейной трапеции, лежащей под графиком функции на сегменте приближенно заменяется суммой площадей, заштрихованных на этом чертеже фигур, лежащих под параболами. Для того, чтобы убедиться в этом достаточно заметить, что выражение, стоящее в фигурных скобках в формуле (11.31), численно равно площади фигуры, лежащей на сегменте под параболой совпадающей с в точках (см. пример 2 п. 4 § 2 гл. 10).

Рис. 11.16

Сравнивая остаточный член (11.32) с остаточными членами (11.23) и (11.27), мы убеждаемся в том, что формула Симпсона дает большую точность, чем формулы прямоугольников и трапеций.

В качестве иллюстрации применения формулы Симпсона обратимся к вычислению интеграла ограничиваясь для простоты значениями из сегмента Полагая и вычисляя производную без труда убедимся в том, что для всех х из сегмента во всяком случае Исходя из оценки (11.32), можем утверждать, что . Значит, разбив сегмент всего на 5 равных частей и заменив рассматриваемый интеграл суммой, стоящей в правой части формулы Симпсона, мы вычислим этот интеграл с точностью до