3. Понятие функции m переменных.

Теперь мы подготовлены для того, чтобы ввести понятие функции переменных.

Если каждой точке М из множества точек -мерного евклидова пространства ставится в соответствие по известному закону некоторое число и, то говорят, что на множестве задана функция или При этом множество называется областью задания функции

Число и, соответствующее данной точке М из множества будем называть частным значением функции в точке М. Совокупность всех частных значений функции называется множеством значений этой функции. Так как точка М определяется координатами то для функции переменных используется также обозначение

Рассмотрим примеры функций переменных.

Начнем с примеров функций двух переменных.

Областью задания этой функции является круг радиуса 2 с центром в начале координат, а множество значений представляет собой сегмент

Областью задания этой функции является множество точек, лежащих вне круга радиуса 2 с центром в начале координат, а множество значений представляет собой открытую полупрямую

Областью задания этой функции является множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству Это неравенство эквивалентно неравенствам при . Таким образом, состоит из круга радиуса с центром в точке О (0,0) и кольцеобразных областей (рис. 12.1).

Приведем теперь примеры функций переменных.

4°. Пусть . Областью задания этой функции служит, очевидно, -мерный шар радиуса 1 с центром в точке Множеством значений рассматриваемой функции является сегмент [0, 1].

5. Пусть Областью задания этой функции является множество всех точек М пространства координаты которых удовлетворяют неравенству

(при этом предполагается, что — некоторые положительные числа).

Очевидно, указанное множество будет представлять собой область в пространстве все точки которой лежат внутри так называемого -мерного эллипсоида, представляющего собой множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

Множеством всех значений указанной функции является полупрямая

Рис. 12.1

Мы видим, что область задания функции переменных представляет собой некоторое множество точек -мерного евклидова пространства а множество всех значений этой функции представляет собой некоторое множество одномерного евклидова пространства

Таким образом, введенную нами функцию переменных можно рассматривать как отображение некоторого множества в пространстве в некоторое множество в пространстве