3. Производные показательной и обратных тригонометрических функций.

Для вычисления производных указанных функций используем теорему 5.4 о дифференцировании обратной функции, доказанную нами в п. 2 § 3 настоящей главы.

Г. Производная функции Так как функция определенная на всей бесконечной прямой является обратной для функции определенной на полупрямой и для функции в окрестности любой точки у полупрямой выполнены все условия теоремы 5.4, то в силу этой теоремы функция дифференцируема в любой точке и для ее производной в этой точке справедлива формула

(Мы использовали выражение (5.38) для производной логарифмической функции.)

Из полученного равенства в силу элементарного соотношения а и соотношения окончательно получим

(для любой точки х бесконечной прямой).

В частности, при

2°. Производная функции Так как функция определенная на интервале является обратной для функции определенной на интервале

, и для функции в окрестности любой точки у интервала — выполнены все условия теоремы 5.4, то по этой теореме функция дифференцируема в любой точке и для ее производной в этой точке справедлива формула

Мы использовали равенство (5.32) и взяли перед корнем знак

в силу того, что положителен всюду на

Учитывая, что мы окончательно получим из (для всех х из интервала

3°. Производная функции Так как функция определенная на интервале является обратной для функции определенной на интервале и для функции в окрестности любой точки у интервала выполнены все условия теоремы 5.4, то по этой теореме функция дифференцируема в любой точке и для ее производной в этой точке справедлива формула

Мы использовали равенство (5.33) и взяли перед корнем знак в силу того, что положителен всюду на интервале Учитывая, что мы окончательно получим из

(для всех х из интервала

4°. Производная функции Так как функция определенная на бесконечной прямой является обратной для функции определенной на интервале для функции в окрестности каждой точки у интервала выполнены все условия теоремы 5.4, то по этой теореме функция дифференцируема в каждой точке и для ее производной в этой точке справедлива формула

(Мы использовали соотношение (5.34).)

Итак,

(для любой точки х бесконечной прямой).

5°. Производная функции Так как функция определенная на бесконечной прямой является обратной для функции определенной на интервале и для функции в окрестности каждой точки интервала выполнены все условия теоремы 5.4, то по этой теореме функция дифференцируема в каждой точке и для ее производной в этой точке справедлива формула

(Мы использовали соотношение

Итак,

(для любой точки х бесконечной прямой).