§ 7. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ РИМАНА

1. Предел интегральных сумм по базису фильтра.

Рассмотрим множество всех разбиений сегмента Обозначим это множество всевозможных разбиений символом Р. Каждому фиксированному разбиению отвечает некоторая интегральная сумма о. Таким образом, получается отображение множества разбиений в множество интегральных сумм. Выберем в Р базис фильтра (базу) с элементами

Эта запись означает: элемент есть разбиение с диаметром меньшим Вспоминая общее определение предела по базе (базису фильтра), мы можем записать, что

где предел означает предел числовой функции а (интегральной суммы функции по базису фильтра . В силу свойств предела по базе такой предел является единственным. Ясно, что все теоремы предыдущих параграфов, где использовался предел сумм при стремлении диаметра разбиений к нулю,

можно сформулировать, используя понятие предела по базису фильтра.