2. Свойство ограниченной последовательности точек E^m.

Введем понятие ограниченной последовательности точек пространства E^m.

Последовательность точек -мерного евклидова пространства называется ограниченной, если существует такое число что для всех выполняется неравенство где О — точка, все координаты которой равны нулю.

Иными словами, ограниченность последовательности точек означает, что все точки этой последовательности принадлежат замкнутому шару достаточно большого радиуса с центром в начале координат О.

Установим следующее важное свойство ограниченной последовательности точек пространства .

Если произвольная строго возрастающая последовательность целых положительных чисел, то мы будем называть последовательность точек

подпоследовательностью последовательности точек

Теорема 12.1 (теорема Больцано — Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности точек -мерного евклидова пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Убедимся, во-первых, что последовательности координат точек являются ограниченными. Действительно, так как последовательность ограничена, то для всех выполняется неравенство Поскольку отсюда следует, что для всех выполняются неравенства Иными словами, последовательности координат точек ограничены. В силу теоремы Больцано—Вейерштрасса для числовых последовательностей (см. п. 1 § 3 гл. 3) из последовательности можно выделить подпоследовательность

сходящуюся к некоторому числу . Рассмотрим соответствующую подпоследовательность следовательности вторых координат точек . В силу той же теоремы из подпоследовательности можно выделить подпоследовательность сходящуюся к некоторому числу Заметим, что подпоследовательность последовательности сходится к числу Итак, подпоследовательности сходятся к числам и соответственно.

Очевидно, что если мы из подпоследовательности последовательности третьих координат точек выделим сходящуюся к числу подпоследовательность то подпоследовательности сходятся соответственно к числам Продолжая эти рассуждения, мы, наконец, получим сходящуюся к некоторому числу подпоследовательность последовательности координат точек причем подпоследовательности сходятся к числам соответственно.

Но тогда в силу леммы 1 подпоследовательность последовательности точек сходится к точке А с координатами ат. Теорема доказана.

Замечание. Предел А последовательности точек, принадлежащих замкнутому множеству также принадлежит этому множеству. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что в любой -окрестности точки А имеются точки т. е. точки множества и поэтому точка А является либо внутренней, либо граничной точкой а следовательно, принадлежит