2. Отыскание стационарных точек.
Напомним определения локального максимума и локального минимума функции.
Пусть функция
определена всюду в некоторой окрестности точки с. Тогда эта функция имеет в точке с локальный максимум [или соответственно локальный минимум], если существует такая окрестность точки с, что для всех точек этой окрестности значение
является наибольшим [или соответственно наименьшим] среди всех значений
этой функции.
Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием локальный экстремум.
В § 1 предыдущей главы нами было установлено необходимое условие экстремума дифференцируемой в данной точке функции.
Это условие имеет следующий вид: если функция
дифференцируема в данной точке с и имеет в этой точке локальный экстремум, то
Рис. 7.1
Вместе с тем в § 1 гл. 6 было указано, что обращение в нуль производной является только необходимым и не является достаточным условием локального экстремума дифференцируемой в данной точке функции.
Так, функция
имеет производную
обращающуюся в нуль в точке
но никакого экстремума в этой точке
функция
не имеет (график, этой функции см. на рис. 6.2).
Точки, в которых производная
функции
обращается в нуль, будем называть стационарными точками функции
Каждая стационарная точка — это точка возможного экстре мума функции.
Однако сделать заключение о том, что в данной стационарной точке на самом деле имеется экстремум, можно лишь на основании дополнительного исследования, для проведения которого мы должны установить достаточные условия экстремума.
Такие условия будут установлены в ближайших трех пунктах.