2. Отыскание стационарных точек.

Напомним определения локального максимума и локального минимума функции.

Пусть функция определена всюду в некоторой окрестности точки с. Тогда эта функция имеет в точке с локальный максимум [или соответственно локальный минимум], если существует такая окрестность точки с, что для всех точек этой окрестности значение является наибольшим [или соответственно наименьшим] среди всех значений этой функции.

Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием локальный экстремум.

В § 1 предыдущей главы нами было установлено необходимое условие экстремума дифференцируемой в данной точке функции.

Это условие имеет следующий вид: если функция дифференцируема в данной точке с и имеет в этой точке локальный экстремум, то

Рис. 7.1

Вместе с тем в § 1 гл. 6 было указано, что обращение в нуль производной является только необходимым и не является достаточным условием локального экстремума дифференцируемой в данной точке функции.

Так, функция имеет производную обращающуюся в нуль в точке но никакого экстремума в этой точке функция не имеет (график, этой функции см. на рис. 6.2).

Точки, в которых производная функции обращается в нуль, будем называть стационарными точками функции

Каждая стационарная точка — это точка возможного экстре мума функции.

Однако сделать заключение о том, что в данной стационарной точке на самом деле имеется экстремум, можно лишь на основании дополнительного исследования, для проведения которого мы должны установить достаточные условия экстремума.

Такие условия будут установлены в ближайших трех пунктах.