ИНТЕГРАЛ РИМАНА: § 2. ВЕРХНИЕ И НИЖНИЕ СУММЫ И ИХ СВОЙСТВА

1. Определение верхней и нижней сумм.

Утверждение, доказанное в § 1, дает нам основание рассматривать всюду в дальнейшем только ограниченные на данном сегменте функции (ибо неограниченные функции заведомо не являются интегрируемыми по Риману).

Пусть -ограниченная на сегменте функция и произвольное разбиение этого сегмента. Так как ограничена на сегменте то она ограничена и на любом частичном сегменте а поэтому у функции существуют точная нижняя грань и точная верхняя грань на частичном сегменте

Итак, пусть

Введем фундаментальные понятия верхней и нижней сумм.

Определение 1. Суммы

и

будем называть соответственно верхней и нижней суммами функции для данного разбиения сегмента

Выясним геометрический смысл верхней и нижней сумм. Рассмотрим снова криволинейную трапецию, т. е. фигуру, ограниченную отрезком оси графиком неотрицательной непрерывной функции и прямыми перпендикулярными к оси (рис. 9.2). Пусть дано любое разбиение сегмента Число в случае непрерывной функции является ее максимальным значением на частичном сегменте Поэтому верхняя сумма равна площади элементарной ступенчатой фигуры, содержащей криволинейную трапецию. Эта площадь заштрихована на рис. 9.2.

Аналогично нижняя сумма равна площади элементарной ступенчатой фигуры, которая содержится в криволинейной трапеций Отметим, что число в этом случае является минимальным значением функции на частичном сегменте

Анализируя геометрический смысл интегральной суммы, можно ожидать, что интеграл от интегрируемой по сегменту функции должен равняться числу, которое следует принять за площадь соответствующей криволинейной трапеции. Но к этому

же числу будут стремиться верхние и нижние суммы при стремлении диаметра разбиений к нулю. Поэтому представляется вероятным, что для интегрируемости функции необходимо и достаточно, чтобы разность между верхними и нижними суммами стремилась к нулю. Строго это будет доказано ниже.

Рис. 9.2

Рис. 9.3