§ 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

1. Понятие множества.

В предыдущих параграфах при изучении теории вещественных чисел важным понятием являлось понятие множества. Подчеркнем, что множество мы рассматривали как начальное понятие, неопределяемое через другие. В этом параграфе мы будем изучать множества произвольной природы, или, как говорят, абстрактные множества. Это означает, что объекты, составляющие данное множество, или, как говорят, элементы данного множества, уже не обязаны быть вещественными числами. Элементами абстрактного множества могут быть, например, функции, буквы алфавита, фигуры на плоскости и т. д.

В математике обычно вводят множество как совокупность объектов любой природы, обладающих определенным свойством.

Множества мы будем обозначать прописными буквами или их элементы — малыми буквами или Утверждение «элемент а принадлежит множеству будем записывать в виде если же элемент а не принадлежит множеству А, то будем писать, что или Если рассматриваются два произвольных множества А и В и известно, что все элементы множества В содержатся в множестве А, то В называется подмножеством множества А и обозначается этот факт так: При этом говорят, что множество В включается в множество А. (Заметим, что при этом возможен случай т. е. случай, когда каждый элемент множества В принадлежит множеству А и, наоборот, каждый элемент множества А принадлежит множеству В.)

В дальнейшем удобно будет рассматривать множества, являющиеся подмножествами некоторого фиксированного множества Е.

Если множество вводится как совокупность объектов, обладающих некоторым свойством, причем оказывается, что объектов, обладающих указанным свойством, не существует, то множество называется пустым и обозначается символом .

Таким образом, пустое множество — это множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество является подмножеством любого множества.

Заметим, что когда речь идет о некотором выборе элементов, для которых ранее было введено обозначение, скажем, о наборе

элементов х, то данная совокупность или данное множество может обозначаться и так (говорят - «множество элементов «икс»). Далее, если X — какое-то множество, определенное свойство, то запись или обозначает множество элементов х, обладающих свойством Р. Например, если обозначить через множество натуральных чисел: то запись означает множество корней уравнения являющихся натуральными числами. В данном случае это множество состоит из одного элемента: 2. Таким образом,

Множество всех тех вещественных чисел которые одновременно удовлетворяют двум условиям: является пустым. Пустым является и множество