8. Отображение m-мерного евклидова пространства в n-мерное.

Важным частным случаем введенных выше отображений является случай отображения -мерного евклидова пространства в -мерное. Напомним, что в евклидовом пространстве норма элемента записывается, в виде

а в пространстве норма элемента записывается в виде

где фиксированная точка из координаты вектора

В случае отображения m-мерного евклидова пространства в -мерное евклидово пространство естественно считать это отображение или, что то же, эту вектор-функцию дифференцируемой в точке если каждая компонента дифференцируема в точке х как функция переменных .

Отображение можно рассматривать и с общей точки зрения (а не как векторную функцию), т. е. как отображение одного нормированного пространства в другое нормированное пространство

Определение дифференцируемого отображения в точке в том случае будет таким же, как и в случае общих нормированных пространств, только нормы, фигурирующие в этом определении, будут определяться формулами для норм в евклидовом пространстве. А именно мы назовем отображение , определенное на некотором открытом подмножестве дифференцируемым в точке если существует такой ограниченный линейный оператор что для любого можно найти при котором из неравенства следует неравенство

То же самое сокращенно можно записать так:

где величина при Аналогично общему случаю вводится и производная отображения

Из курса линейной алгебры известно, что всякое линейное отображение -мерного евклидова пространства в -мерное (линейный оператор) можно задать некоторой матрицей порядка Поскольку производная отображения действующего из есть оператор из пространства в пространство (элемент пространства то есть зависящая от х матрица порядка Найдем вид матрицы.

Если в выбраны базисы, а именно базис и базис то всякий вектор запишется в виде — координаты вектора х в базисе . Всякий вектор можно записать в виде — координаты вектора у в базисе

Отображение пространства в пространство можно записать в виде

Здесь координаты вектора при фиксированном

Далее, отображение как мы уже говорили, является линейным оператором — элементом пространства Покажем, что если дифференцируема, как вектор-функция, то

В самом деле, в этом случае и если записать вектор-функцию покомпонентно в виде столбца и воспользоваться тем, что каждая компонента является дифференцируемой функцией переменных, то

Здесь величины принимающие вещественные значения, стремятся к нулю, если Эта матричная запись допускает, как это легко видеть, такое, более простое представление

где

причем величины о если Поскольку координаты вектора стремятся к нулю, если то и норма вектора в пространстве (т. е. корень квадратный из суммы квадратов его компонент) также стремится к нулю, если

Поэтому можно заключить, что производная дифференцируемого отображения в точке х находится по формуле Матрица, задаваемая формулой называется якоби вой матрицей отображения а в случае ее определитель — якобианом этого отображения в данной точке х.