§ 3. ПРИБЛИЖЕНИЕ ЧИСЕЛ, ПРЕДСТАВИМЫХ БЕСКОНЕЧНЫМИ ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ, РАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ

Докажем три леммы о приближении чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, рациональными числами.

Сначала убедимся в том, что произвольное число а, представимое бесконечной десятичной дробью, можно с наперед заданной точностью приблизить рациональными числами.

Ради определенности будем считать а неотрицательным и представим его дробью

Обрывая указанную дробь на знаке после запятой, мы получим рациональное число причем из правила упорядочения чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, сразу же вытекает, что

Увеличив указанное рациональное число мы получим другое рациональное число которое (в силу правила упорядочения) обязано удовлетворять неравенству

Итак, для любого номера мы нашли два рациональных числа такие, что

Убедимся в том, что для любого наперед взятого положительного рационального числа в, начиная с некоторого номера справедливо неравенство

В самом деле, в силу аксиомы Архимеда найдется лишь конечное число натуральных чисел, не превосходящих чисел 1/е. Значит, лишь для конечного числа номеров справедливо неравенство или . Для всех остальных номеров справедливо противоположное неравенство что и требовалось доказать.

Мы приходим к следующему утверждению.

Лемма 1. Для любого представимого бесконечной десятичной дробью числа а и любого наперед взятого положительного рационального числа найдутся два рациональных числа такие, что

Докажем еще две леммы, характеризующие густоту распределения рациональных чисел среди произвольных чисел, представимых бесконечными десятичными дробями.

Лемма 2. Каковы бы ни были два представимых бесконечными десятичными дробями числа а и такие, что найдется рациональное число а, заключенное между ними, т. е. такое, что (а следовательно, найдется и бесконечное множество различных рациональных чисел, заключенных между а и

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда оба числа а и b неотрицательны, ибо случай, когда а и b неположительны, сводится к указанному случаю посредством перехода к модулям, а случай, когда b отрицательно, а а положительно, тривиален (в качестве а можно взять нуль).

Итак, пусть и оба числа а и b неотрицательны. Предположим, что причем в случае, если а является рациональным числом, представимым конечной десятичной дробью, договоримся брать представление а десятичной дробью, заканчивающейся бесконечным числом девяток.

Так как то найдется номер такой, что

В силу принятой нами договоренности все десятичные зиакиап при не могут быть равны нулю.

Обозначим через наименьший из номеров больших к, для которых Тогда число а можно записать в виде

С помощью правила упорядочения легко проверить, что рациональное число

удовлетворяет неравенствам Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть — два заданных числа, представимых бесконечными десятичными дробями.

Пусть далее для любого положительного рационального числа найдутся два рациональных числа такие, что

Тогда числа равны.

Доказательство. Допустим противное, т. е. предположим, что Не ограничивая общности, будем считать, что . В силу леммы 2 найдутся два рациональных числа си и такие, что

Пусть теперь какие угодно рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам

Из написанных выше неравенств и свойства транзитивности знаков получим Но тогда что противоречит тому, что разность может быть сделана меньше любого наперед взятого положительного рационального числа Лемма доказана.